明治大学
2016年 全学部(理工) 第3問
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![次の空欄に当てはまる0から9までの数字を入れよ.ただし,空欄[サシ]は2桁の数をあらわす.(1)kを自然数とすると∫_0^πsin^kxcosxdx=[ア]である.(2)直線y=√3xをℓとし,曲線y=√3x+sin^2xをCとする.直線ℓ上に点Aをとり,点Aにおいて直線ℓと直交する直線をLとする.関数y=√3x+sin^2xはxに関する単調増加関数であるので,直線Lと曲線Cの共有点は1点のみである.その共有点をB(t,√3t+sin^2t)とする.点Aと点Bの距離をhとおくと,h=\frac{1}{[イ]}sin^2tとなる.また,原点Oと点Aの距離をpとする.点Aのx座標が0以上であるときはp=[ウ]t+\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]}sin^2tとなる.この等式の右辺をf(t)とおく.0≦x≦πの範囲で曲線Cと直線ℓで囲まれた図形を考え,その図形を直線ℓの周りに1回転させてできる立体の体積をVとすると,V=π∫_0^{\mkakko{カ}π}h^2dpとなる.ここで,p=f(t)とおいて置換積分すれば,V=\frac{π}{[キ]}∫_0^{π}sin^4tdtが成り立つ.∫_0^{π}sin^4tdt=\frac{[ク]}{[ケ]}πより,V=\frac{[コ]}{[サシ]}π^2である.](./thumb/294/3239/2016_3.png)
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次の空欄に当てはまる$0$から$9$までの数字を入れよ.ただし,空欄$\fbox{サシ}$は$2$桁の数をあらわす.
(1) $k$を自然数とすると \[ \int_0^\pi \sin^k x \cos x \, dx=\fbox{ア} \] である.
(2) 直線$y=\sqrt{3}x$を$\ell$とし,曲線$y=\sqrt{3}x+\sin^2 x$を$C$とする.直線$\ell$上に点$\mathrm{A}$をとり,点$\mathrm{A}$において直線$\ell$と直交する直線を$L$とする.関数$y=\sqrt{3}x+\sin^2 x$は$x$に関する単調増加関数であるので,直線$L$と曲線$C$の共有点は$1$点のみである.その共有点を$\mathrm{B}(t,\ \sqrt{3}t+\sin^2 t)$とする.点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の距離を$h$とおくと, \[ h=\frac{1}{\fbox{イ}} \sin^2 t \] となる.また,原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$の距離を$p$とする.点$\mathrm{A}$の$x$座標が$0$以上であるときは \[ p=\fbox{ウ}t+\frac{\sqrt{\fbox{エ}}}{\fbox{オ}} \sin^2 t \] となる.この等式の右辺を$f(t)$とおく.
$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で曲線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形を考え,その図形を直線$\ell$の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とすると,$\displaystyle V=\pi \int_0^{\mkakko{カ} \pi} h^2 \, dp$となる.ここで,$p=f(t)$とおいて置換積分すれば, \[ V=\frac{\pi}{\fbox{キ}} \int_0^{\pi} \sin^4 t \, dt \] が成り立つ.$\displaystyle \int_0^{\pi} \sin^4 t \, dt=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}} \pi$より,$\displaystyle V=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サシ}} \pi^2$である.
(1) $k$を自然数とすると \[ \int_0^\pi \sin^k x \cos x \, dx=\fbox{ア} \] である.
(2) 直線$y=\sqrt{3}x$を$\ell$とし,曲線$y=\sqrt{3}x+\sin^2 x$を$C$とする.直線$\ell$上に点$\mathrm{A}$をとり,点$\mathrm{A}$において直線$\ell$と直交する直線を$L$とする.関数$y=\sqrt{3}x+\sin^2 x$は$x$に関する単調増加関数であるので,直線$L$と曲線$C$の共有点は$1$点のみである.その共有点を$\mathrm{B}(t,\ \sqrt{3}t+\sin^2 t)$とする.点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の距離を$h$とおくと, \[ h=\frac{1}{\fbox{イ}} \sin^2 t \] となる.また,原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$の距離を$p$とする.点$\mathrm{A}$の$x$座標が$0$以上であるときは \[ p=\fbox{ウ}t+\frac{\sqrt{\fbox{エ}}}{\fbox{オ}} \sin^2 t \] となる.この等式の右辺を$f(t)$とおく.
$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で曲線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形を考え,その図形を直線$\ell$の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とすると,$\displaystyle V=\pi \int_0^{\mkakko{カ} \pi} h^2 \, dp$となる.ここで,$p=f(t)$とおいて置換積分すれば, \[ V=\frac{\pi}{\fbox{キ}} \int_0^{\pi} \sin^4 t \, dt \] が成り立つ.$\displaystyle \int_0^{\pi} \sin^4 t \, dt=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}} \pi$より,$\displaystyle V=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サシ}} \pi^2$である.
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