慶應義塾大学
2012年 薬学部 第1問
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次の問の$\fbox{$1$}$~$\fbox{$39$}$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号($-$)をマークしなさい.
(1) $\displaystyle \left( ax+\frac{2}{a^2x} \right)^{10}$を展開したところ,$x^2$の項の係数は$560$であった.ただし$a>0$とする.このとき,$a$の値は$\sqrt{\fbox{$1$}}$であり,$x^{-6}$の項の係数は$\displaystyle \frac{\fbox{$2$}\fbox{$3$}}{\fbox{$4$}\fbox{$5$}\fbox{$6$}}$である.
(2) 関数$f(x)=\log_a x$があり,以下に示す$\maruichi$と$\maruni$は共通の解をもつ. \[ \left\{ \begin{array}{lr} f(x)+f(x-3)=4 & \cdots\cdots\maruichi \\ f(3x^2-16x+20)-f(x-2)=2 & \cdots\cdots\maruni \end{array} \right. \]
(ⅰ) $f(2 \sqrt[4]{6})-f(\sqrt[8]{6 \sqrt{72}})$の値は$\displaystyle \frac{\fbox{$7$}\fbox{$8$}}{\fbox{$9$}}$である.
(ⅱ) $y=f(x)$上の点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{A}(-4,\ 8)$を結んだ線分$\mathrm{AP}$を$1:3$に内分する点の軌跡は,底を$a^4$とする対数関数$y=\log_{a^4} x$のグラフを$x$軸正方向に$\fbox{$10$}\fbox{$11$}$,$y$軸正方向に$\fbox{$12$}$平行移動したグラフとなる.
(3) 三角形$\mathrm{ABC}$において,$3$辺の長さは$\mathrm{AB}=2a+1$,$\mathrm{BC}=2a$,$\mathrm{CA}=a$であり,$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{11}{24}$である.ただし$a>0$とする.
(ⅰ) 内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\displaystyle \frac{\fbox{$13$}\fbox{$14$}}{\fbox{$15$}}$である.
(ⅱ) 辺$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$,辺$\mathrm{CA}$の垂直二等分線と線分$\mathrm{CQ}$,辺$\mathrm{CA}$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$とおく.このとき$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表すと, \[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{\fbox{$16$}\fbox{$17$}}{\fbox{$18$}\fbox{$19$}} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\fbox{$20$}\fbox{$21$}}{\fbox{$22$}\fbox{$23$}} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \] である.
(4) 下図のように,$4$行$4$列の計$16$個のマス目をつくり,さらに太線でそれぞれ$2$行$2$列からなる$4$つの区画に分ける.それぞれのマス目に$1$から$4$までの数字を$1$つずつ書き込む.ただし,以下の$3$つの条件を全て満たすものとする.
[$\maruichi$] 各行には$1,\ 2,\ 3,\ 4$が$1$回ずつあらわれる. [$\maruni$] 各列には$1,\ 2,\ 3,\ 4$が$1$回ずつあらわれる. [$\marusan$] 各区画には$1,\ 2,\ 3,\ 4$が$1$回ずつあらわれる.
数字の書き込み方は全部で$\fbox{$24$}\fbox{$25$}\fbox{$26$}$通りある.
(5) 関数$\displaystyle f(x)=-\frac{2}{3}(8^x+8^{-x})+10(4^x+4^{-x})-24(2^{x+1}+2^{-x+1})+84$がある.
(ⅰ) $2^x+2^{-x}=5$のとき$f(x)$の値は$\displaystyle \frac{\fbox{$27$}}{\fbox{$28$}}$である.
(ⅱ) $2^x+2^{-x}=t$とおいたとき,$f(t)=k$の解$t$がただ$1$つであるような定数$k$の値の範囲は \[ \frac{\fbox{$29$}+\fbox{$30$} \sqrt{\fbox{$31$}}}{\fbox{$32$}}<k \leqq \frac{\fbox{$33$}\fbox{$34$}}{\fbox{$35$}},\ \ k<\frac{\fbox{$36$}-\fbox{$37$} \sqrt{\fbox{$38$}}}{\fbox{$39$}} \] である.
(1) $\displaystyle \left( ax+\frac{2}{a^2x} \right)^{10}$を展開したところ,$x^2$の項の係数は$560$であった.ただし$a>0$とする.このとき,$a$の値は$\sqrt{\fbox{$1$}}$であり,$x^{-6}$の項の係数は$\displaystyle \frac{\fbox{$2$}\fbox{$3$}}{\fbox{$4$}\fbox{$5$}\fbox{$6$}}$である.
(2) 関数$f(x)=\log_a x$があり,以下に示す$\maruichi$と$\maruni$は共通の解をもつ. \[ \left\{ \begin{array}{lr} f(x)+f(x-3)=4 & \cdots\cdots\maruichi \\ f(3x^2-16x+20)-f(x-2)=2 & \cdots\cdots\maruni \end{array} \right. \]
(ⅰ) $f(2 \sqrt[4]{6})-f(\sqrt[8]{6 \sqrt{72}})$の値は$\displaystyle \frac{\fbox{$7$}\fbox{$8$}}{\fbox{$9$}}$である.
(ⅱ) $y=f(x)$上の点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{A}(-4,\ 8)$を結んだ線分$\mathrm{AP}$を$1:3$に内分する点の軌跡は,底を$a^4$とする対数関数$y=\log_{a^4} x$のグラフを$x$軸正方向に$\fbox{$10$}\fbox{$11$}$,$y$軸正方向に$\fbox{$12$}$平行移動したグラフとなる.
(3) 三角形$\mathrm{ABC}$において,$3$辺の長さは$\mathrm{AB}=2a+1$,$\mathrm{BC}=2a$,$\mathrm{CA}=a$であり,$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{11}{24}$である.ただし$a>0$とする.
(ⅰ) 内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\displaystyle \frac{\fbox{$13$}\fbox{$14$}}{\fbox{$15$}}$である.
(ⅱ) 辺$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$,辺$\mathrm{CA}$の垂直二等分線と線分$\mathrm{CQ}$,辺$\mathrm{CA}$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$とおく.このとき$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表すと, \[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{\fbox{$16$}\fbox{$17$}}{\fbox{$18$}\fbox{$19$}} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\fbox{$20$}\fbox{$21$}}{\fbox{$22$}\fbox{$23$}} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \] である.
(4) 下図のように,$4$行$4$列の計$16$個のマス目をつくり,さらに太線でそれぞれ$2$行$2$列からなる$4$つの区画に分ける.それぞれのマス目に$1$から$4$までの数字を$1$つずつ書き込む.ただし,以下の$3$つの条件を全て満たすものとする.
[$\maruichi$] 各行には$1,\ 2,\ 3,\ 4$が$1$回ずつあらわれる. [$\maruni$] 各列には$1,\ 2,\ 3,\ 4$が$1$回ずつあらわれる. [$\marusan$] 各区画には$1,\ 2,\ 3,\ 4$が$1$回ずつあらわれる.
数字の書き込み方は全部で$\fbox{$24$}\fbox{$25$}\fbox{$26$}$通りある.
(5) 関数$\displaystyle f(x)=-\frac{2}{3}(8^x+8^{-x})+10(4^x+4^{-x})-24(2^{x+1}+2^{-x+1})+84$がある.
(ⅰ) $2^x+2^{-x}=5$のとき$f(x)$の値は$\displaystyle \frac{\fbox{$27$}}{\fbox{$28$}}$である.
(ⅱ) $2^x+2^{-x}=t$とおいたとき,$f(t)=k$の解$t$がただ$1$つであるような定数$k$の値の範囲は \[ \frac{\fbox{$29$}+\fbox{$30$} \sqrt{\fbox{$31$}}}{\fbox{$32$}}<k \leqq \frac{\fbox{$33$}\fbox{$34$}}{\fbox{$35$}},\ \ k<\frac{\fbox{$36$}-\fbox{$37$} \sqrt{\fbox{$38$}}}{\fbox{$39$}} \] である.
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