福井大学
2014年 医学部 第1問
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三角形$\mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$を満たす二等辺三角形とする.$t$を$\displaystyle \frac{1}{2}<t<1$を満たす定数とし,辺$\mathrm{AB}$を$1:t$に内分する点を$\mathrm{M}$,$\angle \mathrm{AOM}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{N}$とする.$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき,以下の問いに答えよ.
(1) $\mathrm{OM}=s$とおく.$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$s$,$t$を用いて表せ.
(2) $\mathrm{AN}=\mathrm{BM}$のとき,内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$t$を用いて表せ.
(3) $\cos \angle \mathrm{BOM}=x$とおく.$(2)$の仮定のもとで,さらに$x^2+\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0$が成り立っているとき,辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ.
(1) $\mathrm{OM}=s$とおく.$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$s$,$t$を用いて表せ.
(2) $\mathrm{AN}=\mathrm{BM}$のとき,内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$t$を用いて表せ.
(3) $\cos \angle \mathrm{BOM}=x$とおく.$(2)$の仮定のもとで,さらに$x^2+\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0$が成り立っているとき,辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ.
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