旭川医科大学
2012年 医学部 第4問
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曲線$C:y=\log x$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$,$\mathrm{B}(b,\ \log b)$をとり,$C$の$\mathrm{A}$における接線と$\mathrm{B}$における接線の交点について考える.次の問いに答えよ.
(1) 任意に与えられた$a>1$に対して,$2$本の接線の交点がちょうど直線$x=1$上にくるような$b$が唯一つだけ存在し,$b<1$であることを示せ.
(2) $2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$,$\mathrm{B}\displaystyle \left( \frac{1}{a},\ \log \frac{1}{a} \right) \ (a>1)$について,$2$本の接線の交点の$x$座標が$1$より大きいか小さいかを調べよ.
(3) $k$を自然数とする.$\displaystyle a=1+\frac{1}{k}$として(2)の結果を使って,次の不等式が成り立つことを示せ. \[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} > \frac{1}{2} \left( 1+\frac{1}{n} \right) +\log n \quad (n \geqq 2) \]
(1) 任意に与えられた$a>1$に対して,$2$本の接線の交点がちょうど直線$x=1$上にくるような$b$が唯一つだけ存在し,$b<1$であることを示せ.
(2) $2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$,$\mathrm{B}\displaystyle \left( \frac{1}{a},\ \log \frac{1}{a} \right) \ (a>1)$について,$2$本の接線の交点の$x$座標が$1$より大きいか小さいかを調べよ.
(3) $k$を自然数とする.$\displaystyle a=1+\frac{1}{k}$として(2)の結果を使って,次の不等式が成り立つことを示せ. \[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} > \frac{1}{2} \left( 1+\frac{1}{n} \right) +\log n \quad (n \geqq 2) \]
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