旭川医科大学
2012年 医学部 第2問
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$C_1$を中心$(0,\ 0)$,半径$1$の円とし,$C_2$を中心$(0,\ 0)$,半径$r>1$の円とする.$ad-bc>0$を満たす行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$で表される$1$次変換により円$C_1$が円$C_2$に移るとする.次の問いに答えよ.
(1) $a^2+c^2=b^2+d^2=r^2,\ ab+cd=0$が成り立つことを示せ.
(2) $a=r \cos \theta,\ c=r \sin \theta \ (\theta \text{は実数})$とおくとき,$b,\ d$を$r,\ \theta$を用いて表せ.
(3) $B=\displaystyle\frac{1}{r} \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$とする.また,$C_1$に外接し,$C_2$に内接する$8$個の相異なる円$S_1,\ S_2,\ \cdots,\ S_8$が次の$3$条件$\tokeiichi,\ \tokeini,\ \tokeisan$を満たしているとする.このとき,$r$を求めよ.
(ⅰ) 行列$B$で表される$1$次変換により$S_i \ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ 7)$は$S_{i+1}$に,$S_8$は$S_1$に移る.
(ⅱ) $S_{i+1} \ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ 7)$は$S_i$に外接し,$S_8$は$S_1$にも外接する.
(ⅲ) $S_1$は$S_3,\ S_4,\ \cdots, S_7$と交わらない.
(1) $a^2+c^2=b^2+d^2=r^2,\ ab+cd=0$が成り立つことを示せ.
(2) $a=r \cos \theta,\ c=r \sin \theta \ (\theta \text{は実数})$とおくとき,$b,\ d$を$r,\ \theta$を用いて表せ.
(3) $B=\displaystyle\frac{1}{r} \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$とする.また,$C_1$に外接し,$C_2$に内接する$8$個の相異なる円$S_1,\ S_2,\ \cdots,\ S_8$が次の$3$条件$\tokeiichi,\ \tokeini,\ \tokeisan$を満たしているとする.このとき,$r$を求めよ.
(ⅰ) 行列$B$で表される$1$次変換により$S_i \ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ 7)$は$S_{i+1}$に,$S_8$は$S_1$に移る.
(ⅱ) $S_{i+1} \ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ 7)$は$S_i$に外接し,$S_8$は$S_1$にも外接する.
(ⅲ) $S_1$は$S_3,\ S_4,\ \cdots, S_7$と交わらない.
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