上智大学
2014年 理工学部 第2問
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$xyz$空間において,$xy$平面に原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$で接し,中心が$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$であるような球面を$S$とする.点$\mathrm{P}(2 \sqrt{3},\ 0,\ 3)$に点光源をおくとき,$xy$平面上にできる$S$の影$S^\prime$を考える.
(1) 点$\mathrm{P}$から球面$S$に引いた接線の一つと球面との接点を$\mathrm{A}$とする.線分$\mathrm{PA}$の長さは$\sqrt{\fbox{キ}}$である.$\angle \mathrm{CPA}=\theta$とすると,$\displaystyle \sin \theta=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}$である.
(2) 球面$S$上で光が当たる部分と影の部分との境界は,$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{\fbox{コ}}}{\fbox{サ}},\ \fbox{シ},\ \frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}} \right)$を中心とし,半径が$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{ソ}}}{\fbox{タ}}$の円である.
(3) 影$S^\prime$は長軸の長さが$\fbox{チ} \sqrt{\fbox{ツ}}$の楕円の内部である.
(1) 点$\mathrm{P}$から球面$S$に引いた接線の一つと球面との接点を$\mathrm{A}$とする.線分$\mathrm{PA}$の長さは$\sqrt{\fbox{キ}}$である.$\angle \mathrm{CPA}=\theta$とすると,$\displaystyle \sin \theta=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}$である.
(2) 球面$S$上で光が当たる部分と影の部分との境界は,$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{\fbox{コ}}}{\fbox{サ}},\ \fbox{シ},\ \frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}} \right)$を中心とし,半径が$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{ソ}}}{\fbox{タ}}$の円である.
(3) 影$S^\prime$は長軸の長さが$\fbox{チ} \sqrt{\fbox{ツ}}$の楕円の内部である.
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