自然数の列を区切って，次のように群に分ける．第$1$群に入る項の個数は$1$個である．また，第$n+1$群に入る項の個数は第$n$群の最後の項と同じ数とする．ただし，$n$は自然数である．また，群に入る項が$1$個の場合は，その数が最初の項でありかつ最後の項であるとする． \[ |\ 1 \ |\ 2 \ |\ 3,\ 4 \ |\ 5,\ 6,\ 7,\ 8 \ |\ 9,\cdots \] 第$n$群の最後の項を$b_n$とおき，第$n$群に入る項の個数を$c_n$とおく．以下の問題に答えよ．
(1) 項$b_3,\ b_4,\ b_5$を求めよ．また，項$b_n$を$n$を用いて表せ．
(2) 項数$c_n$を$n$を用いて表せ．
(3) $1000$は第何群の第何項目であるかを求めよ．
(4) $n$が$3$以上の奇数のとき，第$n$群の最初の項は$3$の倍数であることを示せ．
(5) $n$が$3$以上の奇数のとき，第$n$群または第$n+1$群に含まれる項のうち$3$の倍数である項の個数を$n$を用いて表せ．