コインを連続して投げる試行を考える．表が出た回は賞金が得られ，裏が出た回の賞金は$0$円とする．賞金は，$1$回目の試行で表なら$1$円，直前に裏が出て表が出たら$1$円である．裏が出た直後の試行または$1$回目の試行から数えて$n$回（$n \geqq 2$）続けて表が出ると，この$n$回目の表に対して$n$円得られるとする．たとえば，$5$回投げて表，表，裏，表，表の順に出た場合に（表，表，裏，表，表）と表記する．この場合には$1+2+0+1+2$の合計$6$円の賞金が得られる．以下の問題に答えよ．
(1) $2$回コインを投げ，$2$回とも表が出る確率を求めよ．
(2) $2$回コインを投げたとき，得られる賞金の期待値を求めよ．
(3) $5$回コインを投げて$3$回表が出たとする．得られる賞金が最も多いときと最も少ないときの賞金の差を求めよ．
(4) $5$回コインを投げたとき，得られる賞金が$4$円である確率を求めよ．
(5) $5$回コインを投げたとき，得られる賞金が$3$円以下である確率を求めよ．