北九州市立大学
2014年 国際環境工 第3問
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$\displaystyle S_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}- \cdots +\frac{(-1)^{n-1}}{n} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定義する．以下の問いに答えよ．
(1) $x \neq -1$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x+1}=\sum_{k=0}^{n-1} (-x)^k+\frac{(-x)^n}{x+1}$が成立することを証明せよ．
(2) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$のとき，不等式$\displaystyle -\frac{1}{n+1} \leqq \int_0^1 \frac{(-x)^n}{x+1} \, dx \leqq \frac{1}{n+1}$が成立することを証明せよ．
(3) $\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^{n-1} \int_0^1 (-x)^k \, dx$が成立することを証明せよ．
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．
(1) $x \neq -1$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x+1}=\sum_{k=0}^{n-1} (-x)^k+\frac{(-x)^n}{x+1}$が成立することを証明せよ．
(2) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$のとき，不等式$\displaystyle -\frac{1}{n+1} \leqq \int_0^1 \frac{(-x)^n}{x+1} \, dx \leqq \frac{1}{n+1}$が成立することを証明せよ．
(3) $\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^{n-1} \int_0^1 (-x)^k \, dx$が成立することを証明せよ．
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．
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