図のような中心$\mathrm{O}$，半径$r$の球形の一部を切り取った容器に，容器上端まで水を満たす．この容器を，点$\mathrm{O}$を中心としてゆっくりと角度$\theta$傾けたときに，容器の中に残っている水の体積を$V$とする．以下の問いに答えよ．答えを導く過程も記すこと．
(1) この容器の容積を求めよ．
(2) 角度$\theta_e$傾けたときにすべての水がこぼれ，容器がちょうど空になったとする．$\theta_e$の値を求めよ．
(3) $0 \leqq \theta \leqq \theta_e$のとき，$V$を$\theta$の関数$f(\theta)$として表せ．
(4) $0 \leqq \theta \leqq \theta_e$のとき，$f(\theta)$の第$1$次導関数および第$2$次導関数を求めよ．
(5) $0 \leqq \theta \leqq \theta_e$のとき，関数$V=f(\theta)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，それらがわかるようにグラフをかけ．