近畿大学
2013年 理系 第3問
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![Oを原点とする座標平面において,曲線C:y=1/x(x>0)と直線ℓ:y=-2x+aを考える.ただし,aは定数とする.(1)Cとℓが2個の共有点をもつとき,aのとりうる値の範囲は,a>[ア]\sqrt{[イ]}である.(2)(1)の条件のもとで,Cとℓの共有点をx座標の小さい順にP,Qとする.(i)Pのx座標をα,Qのx座標をβとするとα+β=\frac{a}{[ウ]},β-α=\frac{\sqrt{a^2-[エ]}}{[オ]},αβ=\frac{[カ]}{[キ]}である.(ii)△OPQの面積は\frac{a\sqrt{a^2-[ク]}}{[ケ]}である.(iii)線分PQの長さが5であるとき,a=[コ]\sqrt{[サ]}であり,このときCとℓで囲まれた部分の面積は\sqrt{[シス]}+log([セ]-\sqrt{[ソタ]})である.](./thumb/541/2297/2013_3.png)
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$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において,曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} \ \ (x>0)$と直線$\ell:y=-2x+a$を考える.ただし,$a$は定数とする.
(1) $C$と$\ell$が$2$個の共有点をもつとき,$a$のとりうる値の範囲は,$a>\fbox{ア} \sqrt{\fbox{イ}}$である.
(2) $(1)$の条件のもとで,$C$と$\ell$の共有点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.
(ⅰ) $\mathrm{P}$の$x$座標を$\alpha$,$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\beta$とすると \[ \alpha+\beta=\frac{a}{\fbox{ウ}},\quad \beta-\alpha=\frac{\sqrt{a^2-\fbox{エ}}}{\fbox{オ}},\quad \alpha\beta=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}} \] である.
(ⅱ) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は \[ \frac{a \sqrt{a^2-\fbox{ク}}}{\fbox{ケ}} \] である.
(ⅲ) 線分$\mathrm{PQ}$の長さが$5$であるとき,$a=\fbox{コ} \sqrt{\fbox{サ}}$であり,このとき$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積は \[ \sqrt{\fbox{シス}}+\log (\fbox{セ}-\sqrt{\fbox{ソタ}}) \] である.
(1) $C$と$\ell$が$2$個の共有点をもつとき,$a$のとりうる値の範囲は,$a>\fbox{ア} \sqrt{\fbox{イ}}$である.
(2) $(1)$の条件のもとで,$C$と$\ell$の共有点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.
(ⅰ) $\mathrm{P}$の$x$座標を$\alpha$,$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\beta$とすると \[ \alpha+\beta=\frac{a}{\fbox{ウ}},\quad \beta-\alpha=\frac{\sqrt{a^2-\fbox{エ}}}{\fbox{オ}},\quad \alpha\beta=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}} \] である.
(ⅱ) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は \[ \frac{a \sqrt{a^2-\fbox{ク}}}{\fbox{ケ}} \] である.
(ⅲ) 線分$\mathrm{PQ}$の長さが$5$であるとき,$a=\fbox{コ} \sqrt{\fbox{サ}}$であり,このとき$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積は \[ \sqrt{\fbox{シス}}+\log (\fbox{セ}-\sqrt{\fbox{ソタ}}) \] である.
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