$xy$平面に正三角形$\mathrm{ABC}$があり，$3$頂点の座標はそれぞれ$\mathrm{A}(0,\ \sqrt{3})$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 0)$となっている．線分$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{CA}$の中点を$\mathrm{E}$とする．また$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$上を動く点とし，$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{AC}$上を動く点とする．
(1) 直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{D}$と対称な点$\mathrm{T}$の座標は$(\fbox{ア},\ \fbox{イ})$である．
(2) 線分$\mathrm{TE}$を$s:1-s$の比に内分する点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BR}}=m \overrightarrow{\mathrm{BA}}+n \overrightarrow{\mathrm{BC}}$と表すと$m=\fbox{ウ}$，$n=\fbox{エ}$となる．ただし$m,\ n$は$s$の$1$次式である．また$s=\fbox{オ}$のとき$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{AB}$上にある．
(3) $\mathrm{DP}+\mathrm{PE}$の最小値は$\fbox{カ}$である．またそのとき$\mathrm{BP}=\fbox{キ}$となる．
(4) $\mathrm{DP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QD}$の最小値は$\fbox{ク}$である．またそのとき$\tan \angle \mathrm{BPQ}=\fbox{ケ}$となる．