$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} \ \ (x>0)$と直線$\ell:y=-2x+a$を考える．ただし，$a$は定数とする．
(1) $C$と$\ell$が$2$個の共有点をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は，$a>\fbox{ア} \sqrt{\fbox{イ}}$である．
(2) $(1)$の条件のもとで，$C$と$\ell$の共有点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(ⅰ) $\mathrm{P}$の$x$座標を$\alpha$，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\beta$とすると \[ \alpha+\beta=\frac{a}{\fbox{ウ}},\quad \beta-\alpha=\frac{\sqrt{a^2-\fbox{エ}}}{\fbox{オ}},\quad \alpha\beta=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}} \] である．
(ⅱ) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は \[ \frac{a \sqrt{a^2-\fbox{ク}}}{\fbox{ケ}} \] である．
(ⅲ) 線分$\mathrm{PQ}$の長さが$5$であるとき，$a=\fbox{コ} \sqrt{\fbox{サ}}$であり，このとき$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積は \[ \sqrt{\fbox{シス}}+\log (\fbox{セ}-\sqrt{\fbox{ソタ}}) \] である．