空間内の同一平面上にない$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3$，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=6$，$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|=5$を満たしているとする．
(1) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\displaystyle \frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウ}}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の値は$\displaystyle \frac{\fbox{エオカ}}{\fbox{キ}}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$の値は$\displaystyle \frac{\fbox{クケ}}{\fbox{コ}}$である．
(2) 線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．$\triangle \mathrm{LMN}$の重心を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき， \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{\fbox{サ}}{\fbox{シ}} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \] であり，したがって \[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\frac{\sqrt{\fbox{チツ}}}{\fbox{テ}} \] となる．また， \[ \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|}=\frac{\fbox{トナ}}{\fbox{ニヌ}} \] である．