$\angle \mathrm{A}={30}^\circ$，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=4$をみたす$\triangle \mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{C}$を点$\mathrm{P}_1$として，$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2$が正三角形になるように，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{Q}_1$，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}_2$をとる．次に，図のように，$\triangle \mathrm{P}_2 \mathrm{Q}_2 \mathrm{P}_3$が正三角形になるように，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{Q}_2$，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}_3$をとる．以下同様にして，$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$が正三角形になるように，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{Q}_n$，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}_{n+1}$をとる．（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$） \imgc{541_2299_2012_1}
$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$の面積を$S_n$，$\triangle \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_{n+1}$の面積を$T_n$とする．
(1) $\mathrm{BC}$と$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の長さを，二重根号を用いない形で求めよ．
(2) $S_1,\ T_1$の値を求めよ．
(3) $S_n$を$n$を用いて表せ．また，$\displaystyle S_n<\frac{1}{1000}$をみたす最小の$n$の値を求めよ．
(4) $T_n$を$n$を用いて表せ．また，和$\displaystyle \sum_{n=1}^5 T_n$の値を求めよ．