下図の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$の$1$辺の長さは$1$である．線分$\mathrm{AH}$の中点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{HC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{c}$とおく． \imgc{541_2298_2012_1}
(1) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}} \overrightarrow{a}+\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}} \overrightarrow{b}+\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}} \overrightarrow{c}$である．
(2) 線分$\mathrm{CG}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{BR}$上に点$\mathrm{S}$を，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DS}}$が垂直になるようにとると， \[ \overrightarrow{\mathrm{DS}}=\overrightarrow{a}-\frac{\fbox{キク}}{\fbox{ケコ}} \overrightarrow{b}+\frac{\fbox{サ}}{\fbox{シ}} \overrightarrow{c} \] である．
(3) 次に，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{F}$を含む平面上に点$\mathrm{T}$を，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DT}}$が垂直になるようにとる．線分$\mathrm{DT}$の長さは \[ \overrightarrow{\mathrm{DT}}=\overrightarrow{a}-\frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}} \overrightarrow{b}-\frac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}} \overrightarrow{c} \] のとき，最小値$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{チツ}}}{\fbox{テ}}$をとる．