$xy$平面上の点$\mathrm{P}$の$x$座標，$y$座標をそれぞれ$\mathrm{P}_x$，$\mathrm{P}_y$と書く．$\mathrm{P}_x$，$\mathrm{P}_y$がともに整数であるような点$\mathrm{P}$を格子点という．次の問に答えよ．
(1) 原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(18,\ 12)$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$がある．線分$\mathrm{OA}$上にある格子点の個数を求めよ．ただし両端$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$も線分$\mathrm{OA}$上の点とする．
(2) $\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(18,\ 0)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$の周または内部にある格子点の個数を求めよ．
(3) $n$を正の整数とする．$2$点$\mathrm{C}(n,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ n)$を考える．格子点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{OCD}$の周または内部を動くとき$\mathrm{P}_x$の総和を$m_1$とおく．また$|\mathrm{P|_x-\mathrm{P}_y}$の総和を$n$が偶数のとき$m_2$，$n$が奇数のとき$m_3$とする．$m_1$，$m_2$，$m_3$を$n$の式で表せ．ただし解答は$an^3+bn^2+cn+d$のように$n$の次数について整理し，降べきの順（次数の高い順）に書くこと．