山梨大学
2011年 教育人間科学・生命環境(生命工以外) 第2問
2
2
実数全体で定義された関数$F(x)$が次の条件$\maruichi$と$\maruni$の両方を満たすとき「$F(x)$は性質$(\mathrm{P})$を持つ」ということにする.
$\maruichi$ \ \ すべての実数$x$について$F(x)>0$である.
$\maruni$ \ \ $F(x)$は何度でも微分が可能で$\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\log F(x)=\frac{1}{\{F(x)\}^2}$を満たす.
(1) $y=f(x)$が性質$(\mathrm{P})$を持つとき$y^{\prime\prime}y-(y^\prime)^2=1$,$y^{\prime\prime\prime}y-y^{\prime\prime}y^\prime=0$となること,および$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}$は正の定数であることを示せ.
(2) $y=f(x)$は性質$(\mathrm{P})$を持つとする.$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}=k^2$($k$は正の定数)とおくとき,$k^2y^2-(y^\prime)^2=1$であることを示し,さらに$ky-y^\prime>0$および$ky+y^\prime>0$が成り立つことを示せ.
(3) $c$を実数とする.(2)のとき,関数$\displaystyle kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime$も性質$(\mathrm{P})$を持つことを証明せよ.ただし$\maruichi$を示すために \[ kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime=f(c)(ky \mp y^\prime) \pm \frac{1}{k}y^\prime (kf(c) \pm f^\prime(c)) \quad (\text{複号同順}) \] を利用してもよい.
$\maruichi$ \ \ すべての実数$x$について$F(x)>0$である.
$\maruni$ \ \ $F(x)$は何度でも微分が可能で$\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\log F(x)=\frac{1}{\{F(x)\}^2}$を満たす.
(1) $y=f(x)$が性質$(\mathrm{P})$を持つとき$y^{\prime\prime}y-(y^\prime)^2=1$,$y^{\prime\prime\prime}y-y^{\prime\prime}y^\prime=0$となること,および$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}$は正の定数であることを示せ.
(2) $y=f(x)$は性質$(\mathrm{P})$を持つとする.$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}=k^2$($k$は正の定数)とおくとき,$k^2y^2-(y^\prime)^2=1$であることを示し,さらに$ky-y^\prime>0$および$ky+y^\prime>0$が成り立つことを示せ.
(3) $c$を実数とする.(2)のとき,関数$\displaystyle kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime$も性質$(\mathrm{P})$を持つことを証明せよ.ただし$\maruichi$を示すために \[ kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime=f(c)(ky \mp y^\prime) \pm \frac{1}{k}y^\prime (kf(c) \pm f^\prime(c)) \quad (\text{複号同順}) \] を利用してもよい.
類題(関連度順)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。