早稲田大学
2015年 教育 第4問
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![座標平面の第1象限に曲線C_0:y=1/x+x(x>0)と曲線C:y=1/x(x>0)がある.C_0上の点(a,1/a+a)におけるC_0の接線をℓとする.このとき,ℓは曲線Cと2点で交わっているとする.(1)このように,接線ℓと曲線Cが2点で交わるaの範囲を求めよ.(2)接線ℓと曲線Cとで囲まれた部分の面積を求めよ.(3)上の(2)で求めた面積をS(a)とするとき,\frac{a^3}{1-a^2}<S(a)<\frac{2a}{1-a^2}が成り立つことを示せ.](./thumb/304/7/2015_4.png)
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座標平面の第$1$象限に曲線$\displaystyle C_0:y=\frac{1}{x}+x \ \ (x>0)$と曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} \ \ (x>0)$がある.$C_0$上の点$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{a}+a \right)$における$C_0$の接線を$\ell$とする.このとき,$\ell$は曲線$C$と$2$点で交わっているとする.
(1) このように,接線$\ell$と曲線$C$が$2$点で交わる$a$の範囲を求めよ.
(2) 接線$\ell$と曲線$C$とで囲まれた部分の面積を求めよ.
(3) 上の$(2)$で求めた面積を$S(a)$とするとき, \[ \frac{a^3}{1-a^2}<S(a)<\frac{2a}{1-a^2} \] が成り立つことを示せ.
(1) このように,接線$\ell$と曲線$C$が$2$点で交わる$a$の範囲を求めよ.
(2) 接線$\ell$と曲線$C$とで囲まれた部分の面積を求めよ.
(3) 上の$(2)$で求めた面積を$S(a)$とするとき, \[ \frac{a^3}{1-a^2}<S(a)<\frac{2a}{1-a^2} \] が成り立つことを示せ.
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