大阪大学
2011年 文系 第3問
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$a,\ b,\ c$を実数とする.ベクトル$\overrightarrow{v_1}=(3,\ 0),\ \overrightarrow{v_2}=(1,\ 2\sqrt{2})$をとり,$\overrightarrow{v_3}=a\overrightarrow{v_1}+b\overrightarrow{v_2}$とおく.座標平面上のベクトル$\overrightarrow{p}$に対する条件
\[ (\ast) \qquad (\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_1}+(\overrightarrow{v_2}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_2}+(\overrightarrow{v_3}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_3} = c\overrightarrow{p} \]
を考える.ここで$\overrightarrow{v_i}\cdot \overrightarrow{p} \ (i=1,\ 2,\ 3)$はベクトル$\overrightarrow{v_i}$とベクトル$\overrightarrow{p}$の内積を表す.このとき以下の問いに答えよ.
(1) 座標平面上の任意のベクトル$\overrightarrow{v}=(x,\ y)$が,実数$s,\ t$を用いて$\overrightarrow{v}=s\overrightarrow{v_1}+t\overrightarrow{v_2}$と表されることを,$s$および$t$の各々を$x,\ y$の式で表すことによって示せ.
(2) $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_1}$と$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_2}$の両方が条件$(\ast)$をみたすならば,座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$こ対して,$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件$(\ast)$をみたすことを示せ.
(3) 座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$に対して,$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件$(\ast)$をみたす.このような実数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ.
(1) 座標平面上の任意のベクトル$\overrightarrow{v}=(x,\ y)$が,実数$s,\ t$を用いて$\overrightarrow{v}=s\overrightarrow{v_1}+t\overrightarrow{v_2}$と表されることを,$s$および$t$の各々を$x,\ y$の式で表すことによって示せ.
(2) $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_1}$と$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_2}$の両方が条件$(\ast)$をみたすならば,座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$こ対して,$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件$(\ast)$をみたすことを示せ.
(3) 座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$に対して,$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件$(\ast)$をみたす.このような実数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ.
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