九州大学
2013年 文系 第1問
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一辺の長さが1の正方形$\mathrm{OABC}$を底面とし,$\mathrm{OP}=\mathrm{AP}=\mathrm{BP}=\mathrm{CP}$をみたす点$\mathrm{P}$を頂点とする四角錐$\mathrm{POABC}$がある.辺$\mathrm{AP}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}$,辺$\mathrm{CP}$の中点を$\mathrm{E}$,辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を,$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を用いて表せ.
(2) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を,$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$t$を用いて表せ.
(3) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の値を求めよ.
(4) 直線$\mathrm{PQ}$が平面$\mathrm{ODE}$に垂直であるとき,$t$の値および線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ.
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を,$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を用いて表せ.
(2) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を,$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$t$を用いて表せ.
(3) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の値を求めよ.
(4) 直線$\mathrm{PQ}$が平面$\mathrm{ODE}$に垂直であるとき,$t$の値および線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ.
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