上智大学
2012年 法(地球),総合(心理,社会福祉),外国語(英語) 第2問
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$a$を実数とする.座標平面において,放物線$C_a$
\[ C_a:y=-2x^2+4ax-2a^2+a+1 \]
および放物線$C$
\[ C:y=x^2-2x \]
を考える.
(1) $C_a$の頂点は常に直線$y=\fbox{ク}x+\fbox{ケ}$上にある.
(2) $C_a$と$C$が共有点をもつための必要十分条件は, \[ \frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \leqq a \leqq \fbox{シ} \] である.
(3) $\displaystyle a=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}$のとき,$C_a$と$C$の共有点は$\mathrm{P}(\fbox{ス},\ \fbox{セ})$である.
(4) $a=\fbox{シ}$のとき,$C_a$と$C$の共有点は$\mathrm{Q}(\fbox{ソ},\ \fbox{タ})$である.
(5) $C$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}$である. $\displaystyle \frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}<a<\fbox{シ}$の場合,$C_a$と$C$で囲まれる図形の面積は,$\displaystyle a=\frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}}$のとき最大値$\displaystyle \frac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}} \sqrt{\fbox{ヌ}}$をとる.
(1) $C_a$の頂点は常に直線$y=\fbox{ク}x+\fbox{ケ}$上にある.
(2) $C_a$と$C$が共有点をもつための必要十分条件は, \[ \frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \leqq a \leqq \fbox{シ} \] である.
(3) $\displaystyle a=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}$のとき,$C_a$と$C$の共有点は$\mathrm{P}(\fbox{ス},\ \fbox{セ})$である.
(4) $a=\fbox{シ}$のとき,$C_a$と$C$の共有点は$\mathrm{Q}(\fbox{ソ},\ \fbox{タ})$である.
(5) $C$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}$である. $\displaystyle \frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}<a<\fbox{シ}$の場合,$C_a$と$C$で囲まれる図形の面積は,$\displaystyle a=\frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}}$のとき最大値$\displaystyle \frac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}} \sqrt{\fbox{ヌ}}$をとる.
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