上智大学
2011年 経済(経営) 第2問
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座標平面上に曲線$C:y=-x^2$および,$C$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ -a^2)$,$\mathrm{B}(b,\ -b^2)$(ただし$a<b$)を考える.$\mathrm{A}$における$C$の接線を$\ell$,$\mathrm{B}$における$C$の接線を$m$とする.$2$直線$\ell$,$m$の交点を$\mathrm{P}(x,\ y)$とする.
(1) $\mathrm{P}(x,\ y)$の各座標を$a,\ b$で表すと, \[ x=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}a+\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}b,\quad y=\fbox{シ}ab \] である.
(2) $\ell$と$m$が直交するように$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$が$C$上を動くとき,$\mathrm{P}(x,\ y)$は常に \[ \fbox{ス}x+\fbox{セ}y-1=0 \] を満たす.
(3) $\angle \mathrm{APB}=135^\circ$であるように$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$が$C$上を動くとき,$\mathrm{P}(x,\ y)$は常に \[ \fbox{ソ}x^2+\fbox{タ} \left( y+\frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}} \right)^2+1=0 \] を満たし,$x=0$のとき$\mathrm{P}(0,\ y)$の$y$座標は \[ \frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}}+\frac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}} \sqrt{\fbox{ヌ}} \] である.
(1) $\mathrm{P}(x,\ y)$の各座標を$a,\ b$で表すと, \[ x=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}a+\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}b,\quad y=\fbox{シ}ab \] である.
(2) $\ell$と$m$が直交するように$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$が$C$上を動くとき,$\mathrm{P}(x,\ y)$は常に \[ \fbox{ス}x+\fbox{セ}y-1=0 \] を満たす.
(3) $\angle \mathrm{APB}=135^\circ$であるように$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$が$C$上を動くとき,$\mathrm{P}(x,\ y)$は常に \[ \fbox{ソ}x^2+\fbox{タ} \left( y+\frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}} \right)^2+1=0 \] を満たし,$x=0$のとき$\mathrm{P}(0,\ y)$の$y$座標は \[ \frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}}+\frac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}} \sqrt{\fbox{ヌ}} \] である.
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