愛媛大学
2012年 理学部・工学部 第1問
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![図のような1辺の長さを1とする立方体ABCD-EFGHを考える.\\線分AHと線分EDの交点をKとする.さらに,辺CGを3:1\\に内分する点をLとし,辺EFをp:1-pに内分する点をMと\\する.ただし,0<p<1である.また,ベクトルa=ベクトルEF,ベクトルb=ベクトルEH,\\ベクトルc=ベクトルEAとおく.\img{669_2872_2012_1}{38}(1)ベクトルKLおよびベクトルKMをそれぞれベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ.(2)ベクトルKLとベクトルKMが垂直になるようなpの値を求めよ.(3)直線KLと面EFGHを含む平面との交点をQとする.(i)線分EQの長さを求めよ.(ii)△EKQの面積を求めよ.](./thumb/669/2883/2012_1.png)
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図のような$1$辺の長さを$1$とする立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を考える. \\
線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする.さらに,辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\
に内分する点を$\mathrm{L}$とし,辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\
する.ただし,$0<p<1$である.また,$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$, \\
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく.
\img{669_2872_2012_1}{38}
(1) $\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ.
(3) 直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする.
(ⅰ) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ.
(ⅱ) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ.
(3) 直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする.
(ⅰ) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ.
(ⅱ) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ.
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