大同大学
2011年 工・情報学部 第5問
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![次の問いに答えよ.(1)\frac{x^3(x-1)^2}{x^2+1}=x^3+px^2+qx+r+\frac{s}{x^2+1}をみたす定数p,q,r,sの値を求めよ.(2)置換積分法により,x=tanθとおいて∫_0^1\frac{dx}{x^2+1}の値を求めよ.(3)\frac{x^3(x-1)^2}{x^2+1}≧\frac{x^3(x-1)^2}{k}(0≦x≦1)をみたす最小の正の定数kの値を求めよ.(4)上の(1),(2),(3)の結果を使って,π<63/20を示せ.](./thumb/433/2296/2011_5.png)
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次の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle \frac{x^3(x-1)^2}{x^2+1}=x^3+px^2+qx+r+\frac{s}{x^2+1}$をみたす定数$p,\ q,\ r,\ s$の値を求めよ.
(2) 置換積分法により,$x=\tan \theta$とおいて$\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{x^2+1}$の値を求めよ.
(3) $\displaystyle \frac{x^3(x-1)^2}{x^2+1} \geqq \frac{x^3(x-1)^2}{k} \ \ (0 \leqq x \leqq 1)$をみたす最小の正の定数$k$の値を求めよ.
(4) 上の$(1)$,$(2)$,$(3)$の結果を使って,$\displaystyle \pi<\frac{63}{20}$を示せ.
(1) $\displaystyle \frac{x^3(x-1)^2}{x^2+1}=x^3+px^2+qx+r+\frac{s}{x^2+1}$をみたす定数$p,\ q,\ r,\ s$の値を求めよ.
(2) 置換積分法により,$x=\tan \theta$とおいて$\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{x^2+1}$の値を求めよ.
(3) $\displaystyle \frac{x^3(x-1)^2}{x^2+1} \geqq \frac{x^3(x-1)^2}{k} \ \ (0 \leqq x \leqq 1)$をみたす最小の正の定数$k$の値を求めよ.
(4) 上の$(1)$,$(2)$,$(3)$の結果を使って,$\displaystyle \pi<\frac{63}{20}$を示せ.
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