千葉大学
2013年 教育学部(算数・技術) 第5問
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![a,bを実数とし,a>0とする.放物線y=\frac{x^2}{4}上に2点A(a,\frac{a^2}{4}),B(b,\frac{b^2}{4})をとる.点Aにおける放物線の接線と法線をそれぞれℓ_Aとn_A,点Bにおける放物線の接線と法線をそれぞれℓ_Bとn_Bとおいたとき,ℓ_Aとℓ_Bが直交しているものとする.2つの接線ℓ_A,ℓ_Bの交点をPとし,2つの法線n_A,n_Bの交点をQとする.(1)bをaを用いて表せ.(2)P,Qの座標をaを用いて表せ.(3)長方形AQBPの面積が最小となるようなaの値と,そのときの面積を求めよ.](./thumb/146/1726/2013_5.png)
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$a,\ b$を実数とし,$a>0$とする.放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$上に$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( a,\ \frac{a^2}{4} \right)$,$\displaystyle \mathrm{B} \left( b,\ \frac{b^2}{4} \right)$をとる.点$\mathrm{A}$における放物線の接線と法線をそれぞれ$\ell_\mathrm{A}$と$n_\mathrm{A}$,点$\mathrm{B}$における放物線の接線と法線をそれぞれ$\ell_\mathrm{B}$と$n_\mathrm{B}$とおいたとき,$\ell_\mathrm{A}$と$\ell_\mathrm{B}$が直交しているものとする.$2$つの接線$\ell_\mathrm{A},\ \ell_\mathrm{B}$の交点を$\mathrm{P}$とし,$2$つの法線$n_\mathrm{A},\ n_\mathrm{B}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.
(1) $b$を$a$を用いて表せ.
(2) $\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ.
(3) 長方形$\mathrm{AQBP}$の面積が最小となるような$a$の値と,そのときの面積を求めよ.
(1) $b$を$a$を用いて表せ.
(2) $\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ.
(3) 長方形$\mathrm{AQBP}$の面積が最小となるような$a$の値と,そのときの面積を求めよ.
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