平面上のベクトル$\overrightarrow{a}=(\cos \alpha,\ \sin \alpha)$，$\overrightarrow{b}=(\cos \beta,\ \sin \beta)$で，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のあいだに \[ |p \overrightarrow{a|+\vectit{b}}=\sqrt{3} |\overrightarrow{a|-p \vectit{b}},\quad p>0 \] の関係がある．次の問題に答えよ．
(1) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のそれぞれの大きさ$|\overrightarrow{a|}$と$|\overrightarrow{b|}$を求めよ．
(2) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$p$の式で表わせ．
(3) $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の最小値$q$を求めよ．
(4) $(3)$のときの$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta \ \ (0 \leqq \theta \leqq \pi)$を求めよ．
(5) $(4)$で$\displaystyle \beta=\frac{\pi}{4}$，$\alpha \geqq \beta$，$0 \leqq \alpha \leqq \pi$のとき，$\alpha$を求めよ．