山形大学
2011年 人文学部 第3問
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![正の定数kに対し,曲線y=kx^2をCとする.この曲線Cを用いて,数列{a_n}を次のように定める.\mon[(1)]a_1>0\mon[(ii)]n=1,2,3,・・・に対し,点P_n(a_n,k(a_n)^2)における曲線Cの接線とx軸との交点のx座標をa_{n+1}とする.このとき,次の問に答えよ.(1)曲線C上の点P_1における接線の方程式を求めよ.(2)a_2をa_1で表せ.(3)a_nをa_1で表せ.(4)曲線C,x軸,直線x=a_n,x=a_{n+1}で囲まれた図形の面積をS_nとする.S_nをa_1で表せ.(5)T_n=S_1+S_3+・・・+S_{2n-1}とする.T_{n}をa_1で表せ.\monU_n=S_2+S_4+・・・+S_{2n}とする.\frac{U_n}{T_n}を求めよ.](./thumb/72/2156/2011_3.png)
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正の定数$k$に対し,曲線$y=kx^2$を$C$とする.この曲線$C$を用いて,数列$\{a_n\}$を次のように定める.
[(1)] $a_1>0$ [(ii)] $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し,点P$_n (a_n,\ k(a_n)^2)$における曲線$C$の接線と$x$軸との交点の$x$座標を$a_{n+1}$とする.
このとき,次の問に答えよ.
(1) 曲線$C$上の点P$_1$における接線の方程式を求めよ.
(2) $a_2$を$a_1$で表せ.
(3) $a_n$を$a_1$で表せ.
(4) 曲線$C$,$x$軸,直線$x=a_n$,$x=a_{n+1}$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする.$S_n$を$a_1$で表せ.
(5) $T_n=S_1+S_3+\cdots +S_{2n-1}$とする.$T_{n}$を$a_1$で表せ. $U_n=S_2+S_4+\cdots +S_{2n}$とする.$\displaystyle \frac{U_n}{T_n}$を求めよ.
[(1)] $a_1>0$ [(ii)] $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し,点P$_n (a_n,\ k(a_n)^2)$における曲線$C$の接線と$x$軸との交点の$x$座標を$a_{n+1}$とする.
このとき,次の問に答えよ.
(1) 曲線$C$上の点P$_1$における接線の方程式を求めよ.
(2) $a_2$を$a_1$で表せ.
(3) $a_n$を$a_1$で表せ.
(4) 曲線$C$,$x$軸,直線$x=a_n$,$x=a_{n+1}$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする.$S_n$を$a_1$で表せ.
(5) $T_n=S_1+S_3+\cdots +S_{2n-1}$とする.$T_{n}$を$a_1$で表せ. $U_n=S_2+S_4+\cdots +S_{2n}$とする.$\displaystyle \frac{U_n}{T_n}$を求めよ.
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