大阪教育大学
2013年 理系 第3問
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![平行四辺形ABCDを底面とする四角錐OABCDを考える.線分OBの中点をB´,線分OCを1:2に内分する点をC´とし,A,B´,C´を通る平面と直線ODの交点をD´とする.また,ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとする.(1)ベクトルODをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcで表せ.(2)ベクトルOD´はベクトルODの何倍か.(3)三角錐AOB´D´の体積は,三角錐AOBDの体積の何倍か.(4)四角錐OAB´C´D´の体積は,四角錐OABCDの体積の何倍か.](./thumb/505/2612/2013_3.png)
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平行四辺形$\mathrm{ABCD}$を底面とする四角錐$\mathrm{OABCD}$を考える.線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{B}^\prime$,線分$\mathrm{OC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{C}^\prime$とし,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}^\prime$,$\mathrm{C}^\prime$を通る平面と直線$\mathrm{OD}$の交点を$\mathrm{D}^\prime$とする.また,$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OD^\prime}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$の何倍か.
(3) 三角錐$\mathrm{AOB}^\prime \mathrm{D}^\prime$の体積は,三角錐$\mathrm{AOBD}$の体積の何倍か.
(4) 四角錐$\mathrm{OAB}^\prime \mathrm{C}^\prime \mathrm{D}^\prime$の体積は,四角錐$\mathrm{OABCD}$の体積の何倍か.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OD^\prime}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$の何倍か.
(3) 三角錐$\mathrm{AOB}^\prime \mathrm{D}^\prime$の体積は,三角錐$\mathrm{AOBD}$の体積の何倍か.
(4) 四角錐$\mathrm{OAB}^\prime \mathrm{C}^\prime \mathrm{D}^\prime$の体積は,四角錐$\mathrm{OABCD}$の体積の何倍か.
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