宮崎大学
2014年 教育文化(理系) 第2問
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下図の平行六面体において,$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$,$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とし,$\triangle \mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$の交点を$\mathrm{H}$とする.さらに,四面体$\mathrm{OACD}$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとする.このとき,次の各問に答えよ.
\imgc{735_3044_2014_1}
(1) $\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し,$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ.
(2) 内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ.
(3) $\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ.
(1) $\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し,$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ.
(2) 内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ.
(3) $\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ.
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