四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{OC}=4$， \[ \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{2},\quad \angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{3},\quad \angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \] とする．また，線分$\mathrm{OA}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{CQ}$，線分$\mathrm{CP}$の中点をそれぞれ$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とし，直線$\mathrm{PR}$と直線$\mathrm{QS}$の交点を$\mathrm{T}$とする．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．次の問いに答えよ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OT}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2) 点$\mathrm{T}$から平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{TH}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{HT}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3) 四面体$\mathrm{OABT}$の体積を求めよ．