$a$を正の実数とする．点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を定点とし，点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$を放物線$C:y=x^2$上の点とする．次の問いに答えよ．
(1) 直線$\mathrm{AP}$と放物線$C$の交点で，点$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2) 点$\mathrm{P}$での放物線$C$の接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とし，点$\mathrm{Q}$での$C$の接線$m$と$x$軸との交点を$\mathrm{S}$とする．このとき$\mathrm{R}$と$\mathrm{S}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3) 線分$\mathrm{PR}$，線分$\mathrm{RS}$，線分$\mathrm{SQ}$および放物線$C$の一部である曲線$\mathrm{PQ}$によって囲まれる部分の面積$T(a)$を$a$を用いて表せ．
(4) $T(a)$の最小値を求めよ．