立教大学
2011年 文系 第1問
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次の空欄アに$\maruichi$~$\marushi$のいずれかを記入せよ.また空欄イ~スに当てはまる数または式を記入せよ.
(1) 実数$x,\ y$に対して,$x^2+y^2 \leqq 1$は「$-1 \leqq x \leqq 1$かつ$-1 \leqq y \leqq 1$」であるための何条件かを,$\maruichi$「必要条件」,$\maruni$「十分条件」,$\marusan$「必要十分条件」,$\marushi$「必要条件でも十分条件でもない」のうちから選択すると,$\fbox{ア}$となる.
(2) $3x^2-xy-2y^2-x+6y+k$が,$x,\ y$の整数係数の$1$次式の積に因数分解されるとき,$k=\fbox{イ}$である.
(3) $3$つの数$\log_2 x$,$\log_2 10$,$\log_2 20$がこの順で等差数列であるとき,$x=\fbox{ウ}$である.
(4) $\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots +\frac{1}{100 \cdot 101}=\frac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}}$である.
(5) 座標平面上の曲線$y=x^3+ax^2+bx$上の点$(2,\ 4)$における接線が$x$軸に平行であるとき,$a=\fbox{カ}$,$b=\fbox{キ}$である. 自宅から$2000 \; \mathrm{m}$離れている駅まで,はじめに毎分$80 \; \mathrm{m}$で歩き,途中から毎分$170 \; \mathrm{m}$で走るものとする.出発してから$16$分以内に駅に到着するには,歩きはじめてから$\fbox{ク}$分以内に走り出さなければならない. 点$\mathrm{A}(2,\ 3)$,点$\mathrm{B}(p,\ q)$と原点$\mathrm{O}$がつくる三角形$\mathrm{OAB}$について,$\angle \mathrm{OAB}=90^\circ$のとき,$p,\ q$の満たす条件は$p \neq 2$かつ$p=\fbox{ケ}$である. 実数$x,\ y,\ a,\ b$が条件$x^2+y^2=2$,および$a^2+b^2=3$を満たすとき,$ax+by$の最大値は$\fbox{コ}$で,最小値は$\fbox{サ}$である. $\displaystyle x=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{10}i}{3}$とし,$x$と共役な複素数を$y$とするとき,$x^3+y^3=\fbox{シ}$となる.ただし,$i$は虚数単位とする. $\displaystyle \sin x+\sin y=\frac{1}{3}$,$\displaystyle \cos x-\cos y=\frac{1}{2}$のとき,$\cos (x+y)$の値は$\fbox{ス}$である.
(1) 実数$x,\ y$に対して,$x^2+y^2 \leqq 1$は「$-1 \leqq x \leqq 1$かつ$-1 \leqq y \leqq 1$」であるための何条件かを,$\maruichi$「必要条件」,$\maruni$「十分条件」,$\marusan$「必要十分条件」,$\marushi$「必要条件でも十分条件でもない」のうちから選択すると,$\fbox{ア}$となる.
(2) $3x^2-xy-2y^2-x+6y+k$が,$x,\ y$の整数係数の$1$次式の積に因数分解されるとき,$k=\fbox{イ}$である.
(3) $3$つの数$\log_2 x$,$\log_2 10$,$\log_2 20$がこの順で等差数列であるとき,$x=\fbox{ウ}$である.
(4) $\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots +\frac{1}{100 \cdot 101}=\frac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}}$である.
(5) 座標平面上の曲線$y=x^3+ax^2+bx$上の点$(2,\ 4)$における接線が$x$軸に平行であるとき,$a=\fbox{カ}$,$b=\fbox{キ}$である. 自宅から$2000 \; \mathrm{m}$離れている駅まで,はじめに毎分$80 \; \mathrm{m}$で歩き,途中から毎分$170 \; \mathrm{m}$で走るものとする.出発してから$16$分以内に駅に到着するには,歩きはじめてから$\fbox{ク}$分以内に走り出さなければならない. 点$\mathrm{A}(2,\ 3)$,点$\mathrm{B}(p,\ q)$と原点$\mathrm{O}$がつくる三角形$\mathrm{OAB}$について,$\angle \mathrm{OAB}=90^\circ$のとき,$p,\ q$の満たす条件は$p \neq 2$かつ$p=\fbox{ケ}$である. 実数$x,\ y,\ a,\ b$が条件$x^2+y^2=2$,および$a^2+b^2=3$を満たすとき,$ax+by$の最大値は$\fbox{コ}$で,最小値は$\fbox{サ}$である. $\displaystyle x=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{10}i}{3}$とし,$x$と共役な複素数を$y$とするとき,$x^3+y^3=\fbox{シ}$となる.ただし,$i$は虚数単位とする. $\displaystyle \sin x+\sin y=\frac{1}{3}$,$\displaystyle \cos x-\cos y=\frac{1}{2}$のとき,$\cos (x+y)$の値は$\fbox{ス}$である.
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