立教大学
2014年 現代心理(心理)・コミュ(コミュ)・観光(交流)・経営 第1問
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次の空欄$\fbox{ア}$,$\fbox{イ}$に「真」または「偽」のいずれかを記入せよ.また空欄$\fbox{ウ}$~$\fbox{サ}$に当てはまる数または式を記入せよ.
(1) 実数$a,\ b$について,命題「$ab=0$ならば$b=0$である」の逆は$\fbox{ア}$であり,裏は$\fbox{イ}$である.
(2) $\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}$のとき,$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=\fbox{ウ}$,$\displaystyle x^4+\frac{1}{x^4}=\fbox{エ}$と,いずれも整数で表せる.
(3) すべての実数$x$について$2$次不等式$x^2-2(k+1)x+2k^2>0$が成立するような実数$k$の範囲は$\fbox{オ}$である.
(4) $1$から$4$までの数字が$1$つずつ書かれたカードをそれぞれ$2$枚用意する.この$8$枚のカードから$6$枚を同時に引き,その中で最大の数を$X$とするとき,$X$の期待値は$\fbox{カ}$である.
(5) $0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき,$\sqrt{3} \cos \theta+\sin \theta$の最大値は$\fbox{キ}$であり,最小値は$\fbox{ク}$である. 方程式$\log_{\frac{1}{2}}x^2+\log_2 x^{\frac{9}{2}}+\log_4 x^{-1}=4$を満たす$x$の値は$\fbox{ケ}$である. 等差数列をなす$3$つの数がある.これらの和が$1$で,平方の和が$\displaystyle \frac{11}{24}$であるとき,$3$つの数は$\fbox{コ}$である. ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ x)$,$\overrightarrow{b}=(2,\ -1)$について,$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$が垂直であるときの$x$の値をすべて求めると,$\fbox{サ}$である.
(1) 実数$a,\ b$について,命題「$ab=0$ならば$b=0$である」の逆は$\fbox{ア}$であり,裏は$\fbox{イ}$である.
(2) $\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}$のとき,$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=\fbox{ウ}$,$\displaystyle x^4+\frac{1}{x^4}=\fbox{エ}$と,いずれも整数で表せる.
(3) すべての実数$x$について$2$次不等式$x^2-2(k+1)x+2k^2>0$が成立するような実数$k$の範囲は$\fbox{オ}$である.
(4) $1$から$4$までの数字が$1$つずつ書かれたカードをそれぞれ$2$枚用意する.この$8$枚のカードから$6$枚を同時に引き,その中で最大の数を$X$とするとき,$X$の期待値は$\fbox{カ}$である.
(5) $0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき,$\sqrt{3} \cos \theta+\sin \theta$の最大値は$\fbox{キ}$であり,最小値は$\fbox{ク}$である. 方程式$\log_{\frac{1}{2}}x^2+\log_2 x^{\frac{9}{2}}+\log_4 x^{-1}=4$を満たす$x$の値は$\fbox{ケ}$である. 等差数列をなす$3$つの数がある.これらの和が$1$で,平方の和が$\displaystyle \frac{11}{24}$であるとき,$3$つの数は$\fbox{コ}$である. ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ x)$,$\overrightarrow{b}=(2,\ -1)$について,$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$が垂直であるときの$x$の値をすべて求めると,$\fbox{サ}$である.
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