慶應義塾大学
2015年 経済学部 第1問
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$c$を定数とし,数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{c+\sum_{k=1}^n 2^k}{2^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める.
(1) 数列$\{a_n\}$は漸化式 \[ a_{n+1}=\fbox{$1$}+\frac{a_n}{\fbox{$2$}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] を満たす.
(2) $a_n$を$n$の式で表すと \[ a_n=2-\frac{\fbox{$3$}-c}{2^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] となる.ゆえに,$c=\fbox{$4$}$のとき数列$\{a_n\}$は公比$1$の等比数列になる.
(3) $c=1$とする.$a_n$が$1.99$を超えない最大の$n$は$\fbox{$5$}$である.
(4) $c=-38$とする.自然数$N$に対して,$\displaystyle \sum_{n=1}^N a_n$の値は$N=\fbox{$6$}$のとき最小値$\displaystyle \frac{\fbox{$7$}\fbox{$8$}\fbox{$9$}}{\fbox{$10$}}$をとる.
(1) 数列$\{a_n\}$は漸化式 \[ a_{n+1}=\fbox{$1$}+\frac{a_n}{\fbox{$2$}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] を満たす.
(2) $a_n$を$n$の式で表すと \[ a_n=2-\frac{\fbox{$3$}-c}{2^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] となる.ゆえに,$c=\fbox{$4$}$のとき数列$\{a_n\}$は公比$1$の等比数列になる.
(3) $c=1$とする.$a_n$が$1.99$を超えない最大の$n$は$\fbox{$5$}$である.
(4) $c=-38$とする.自然数$N$に対して,$\displaystyle \sum_{n=1}^N a_n$の値は$N=\fbox{$6$}$のとき最小値$\displaystyle \frac{\fbox{$7$}\fbox{$8$}\fbox{$9$}}{\fbox{$10$}}$をとる.
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