東京薬科大学
2013年 薬学部(B前期) 第5問
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$a$は実数の定数で,$0<a \leqq 1$とする.$2$次関数$f(x)=x^2-ax+b$が
\[ \int_0^1 f(x) \, dx=0 \]
を満たすとき,次の各問に答えよ.
(1) $a$と$b$の関係式を求めると,$\displaystyle b=\frac{\fbox{$\ast$け}}{\fbox{こ}}a+\frac{\fbox{$\ast$さ}}{\fbox{し}}$となる.
(2) 実数$k$が$\displaystyle \int_1^2 f(x) \, dx=k \int_{-1}^0 f(x) \, dx$を満たすとき,$k$の最小値は$\fbox{$\ast$す}$である.$k$が最小であるとき,$y=f(x)$の接線で傾きが$1$のものは$\displaystyle y=x+\frac{\fbox{$\ast$せ}}{\fbox{そ}}$である.
(3) $f(x)$の$0 \leqq x \leqq 1$における最大値と最小値を$a$の式で表したものをそれぞれ$M(a)$,$m(a)$と記すと, \[ M(a)=\frac{\fbox{$\ast$た}}{\fbox{ち}} a+\frac{\fbox{$\ast$つ}}{\fbox{て}},\quad m(a)=\frac{\fbox{$\ast$と}}{\fbox{な}} a^2+\frac{\fbox{$\ast$に}}{\fbox{ぬ}}a+\frac{\fbox{$\ast$ね}}{\fbox{の}} \] となる.
(4) 最大値と最小値の差$M(a)-m(a)$の最小値は$\displaystyle \frac{\fbox{は}}{\fbox{ひ}}$である.
(1) $a$と$b$の関係式を求めると,$\displaystyle b=\frac{\fbox{$\ast$け}}{\fbox{こ}}a+\frac{\fbox{$\ast$さ}}{\fbox{し}}$となる.
(2) 実数$k$が$\displaystyle \int_1^2 f(x) \, dx=k \int_{-1}^0 f(x) \, dx$を満たすとき,$k$の最小値は$\fbox{$\ast$す}$である.$k$が最小であるとき,$y=f(x)$の接線で傾きが$1$のものは$\displaystyle y=x+\frac{\fbox{$\ast$せ}}{\fbox{そ}}$である.
(3) $f(x)$の$0 \leqq x \leqq 1$における最大値と最小値を$a$の式で表したものをそれぞれ$M(a)$,$m(a)$と記すと, \[ M(a)=\frac{\fbox{$\ast$た}}{\fbox{ち}} a+\frac{\fbox{$\ast$つ}}{\fbox{て}},\quad m(a)=\frac{\fbox{$\ast$と}}{\fbox{な}} a^2+\frac{\fbox{$\ast$に}}{\fbox{ぬ}}a+\frac{\fbox{$\ast$ね}}{\fbox{の}} \] となる.
(4) 最大値と最小値の差$M(a)-m(a)$の最小値は$\displaystyle \frac{\fbox{は}}{\fbox{ひ}}$である.
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