慶應義塾大学
2014年 薬学部 第2問
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![Oを原点とするxy平面上に円C:x^2+y^2=r^2と放物線D:y=1/2x^2-tがある.ただしrとtはそれぞれ正の実数の定数とする.点(0,-55)から放物線Dに傾きが正の接線を引くとき,その接線の傾きは3√6である.放物線D上にはx座標がそれぞれ-4√3,4√3である点P,Qがあり,円Cはこの2点P,Qを通る.このとき,(1)t=[40][41]である.(2)r=[42]である.(3)円Cと2線分OP,OQで囲まれる2つの扇形のうち,∠POQがπより小さい方の面積は\frac{[43][44]}{[45]}πである.(4)円Cと放物線Dで囲まれた図形のうち,{\begin{array}{l}x^2+y^2≧r^2\y≧1/2x^2-t\end{array}.で表される図形の面積は[46][47][48]\sqrt{[49]}-\frac{[50][51]}{[52]}πである.](./thumb/202/97/2014_2.png)
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$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に円$C:x^2+y^2=r^2$と放物線$\displaystyle D:y=\frac{1}{2}x^2-t$がある.ただし$r$と$t$はそれぞれ正の実数の定数とする.点$(0,\ -55)$から放物線$D$に傾きが正の接線を引くとき,その接線の傾きは$3 \sqrt{6}$である.放物線$D$上には$x$座標がそれぞれ$-4 \sqrt{3}$,$4 \sqrt{3}$である点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$があり,円$C$はこの$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$を通る.このとき,
(1) $t=\fbox{$40$}\fbox{$41$}$である.
(2) $r=\fbox{$42$}$である.
(3) 円$C$と$2$線分$\mathrm{OP}$,$\mathrm{OQ}$で囲まれる$2$つの扇形のうち,$\angle \mathrm{POQ}$が$\pi$より小さい方の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{$43$}\fbox{$44$}}{\fbox{$45$}} \pi$である.
(4) 円$C$と放物線$D$で囲まれた図形のうち, \[ \left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2 \geqq r^2 \\ y \geqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2-t \end{array} \right. \] で表される図形の面積は$\displaystyle \fbox{$46$}\fbox{$47$}\fbox{$48$} \sqrt{\fbox{$49$}}-\frac{\fbox{$50$}\fbox{$51$}}{\fbox{$52$}} \pi$である.
(1) $t=\fbox{$40$}\fbox{$41$}$である.
(2) $r=\fbox{$42$}$である.
(3) 円$C$と$2$線分$\mathrm{OP}$,$\mathrm{OQ}$で囲まれる$2$つの扇形のうち,$\angle \mathrm{POQ}$が$\pi$より小さい方の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{$43$}\fbox{$44$}}{\fbox{$45$}} \pi$である.
(4) 円$C$と放物線$D$で囲まれた図形のうち, \[ \left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2 \geqq r^2 \\ y \geqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2-t \end{array} \right. \] で表される図形の面積は$\displaystyle \fbox{$46$}\fbox{$47$}\fbox{$48$} \sqrt{\fbox{$49$}}-\frac{\fbox{$50$}\fbox{$51$}}{\fbox{$52$}} \pi$である.
類題(関連度順)
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