龍谷大学
2013年 理系 第4問
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異なる$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$があり,その$2$点間を次のように移動する点$\mathrm{P}$を考える.
\begin{itemize}
点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$上にあるとき,表が出る確率が$\displaystyle \frac{4}{7}$,裏が出る確率が$\displaystyle \frac{3}{7}$であるようなコインを投げて,表が出れば$\mathrm{A}$にとどまり,裏が出れば点$\mathrm{B}$に移動する.
点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{B}$上にあるとき,表が出る確率が$q$,裏が出る確率が$1-q$であるようなコインを投げて,表が出れば$\mathrm{B}$にとどまり,裏が出れば点$\mathrm{A}$に移動する. \end{itemize} 点$\mathrm{P}$は最初に点$\mathrm{A}$上にあるとし,コインを$n$回投げた後に,点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$上にある確率を$p_n$で表す($n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$).このとき,次の問いに答えなさい.
(1) $p_2$を$q$で表しなさい.
(2) $p_{n+1}$を$p_n$と$q$で表しなさい.
(3) $\displaystyle q=\frac{5}{7}$のとき$p_n$を$n$で表しなさい.
点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$上にあるとき,表が出る確率が$\displaystyle \frac{4}{7}$,裏が出る確率が$\displaystyle \frac{3}{7}$であるようなコインを投げて,表が出れば$\mathrm{A}$にとどまり,裏が出れば点$\mathrm{B}$に移動する.
点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{B}$上にあるとき,表が出る確率が$q$,裏が出る確率が$1-q$であるようなコインを投げて,表が出れば$\mathrm{B}$にとどまり,裏が出れば点$\mathrm{A}$に移動する. \end{itemize} 点$\mathrm{P}$は最初に点$\mathrm{A}$上にあるとし,コインを$n$回投げた後に,点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$上にある確率を$p_n$で表す($n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$).このとき,次の問いに答えなさい.
(1) $p_2$を$q$で表しなさい.
(2) $p_{n+1}$を$p_n$と$q$で表しなさい.
(3) $\displaystyle q=\frac{5}{7}$のとき$p_n$を$n$で表しなさい.
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