お茶の水女子大学
2013年 数学科・物理学科(共通問題) 第3問
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![数列{a_n}を次のように定める.a_1=a_2=a_3=1,a_{n+3}=a_{n+1}+a_n(n=1,2,3,・・・)(1)a_{n+1}≦a_{n+2}≦2a_nを示せ.(2)a_n≦\sqrt{2^n}を示せ.さらに,数列{b_n}をb_n={\begin{array}{ll}0&a_n が偶数のとき \1&a_n が奇数のとき \end{array}.(n=1,2,3,・・・)によって定める.また,自然数kに対して,条件p_k :すべての自然数 n について b_{n+k}=b_n が成り立つ を考える.以下の問いに答えよ.(3)条件p_kを満たす最小の自然数kを求めよ.(4)p,q,rを整数とし,数列{a_n}のa_1,a_2,a_3をa_1=p,a_2=q,a_3=rに置き換え,数列{b_n}もそれにあわせて置き換える.p,q,rをどのように選んでも,条件p_kを満たす自然数kが存在することを示せ.](./thumb/177/2315/2013_3.png)
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数列$\{a_n\}$を次のように定める.
\[ a_1=a_2=a_3=1,\quad a_{n+3}=a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1) $a_{n+1} \leqq a_{n+2} \leqq 2a_n$を示せ.
(2) $a_n \leqq \sqrt{2^n}$を示せ.
さらに,数列$\{b_n\}$を \[ b_n=\left\{ \begin{array}{ll} 0 & a_n \ \text{が偶数のとき} \\ 1 & a_n \ \text{が奇数のとき} \end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] によって定める.また,自然数$k$に対して,条件 \[ p_k \ \text{:すべての自然数} \ n \ \text{について} \ b_{n+k}=b_n \ \text{が成り立つ} \] を考える.以下の問いに答えよ.
(3) 条件$p_k$を満たす最小の自然数$k$を求めよ.
(4) $p,\ q,\ r$を整数とし,数列$\{a_n\}$の$a_1,\ a_2,\ a_3$を$a_1=p,\ a_2=q,\ a_3=r$に置き換え,数列$\{b_n\}$もそれにあわせて置き換える.$p,\ q,\ r$をどのように選んでも,条件$p_k$を満たす自然数$k$が存在することを示せ.
(1) $a_{n+1} \leqq a_{n+2} \leqq 2a_n$を示せ.
(2) $a_n \leqq \sqrt{2^n}$を示せ.
さらに,数列$\{b_n\}$を \[ b_n=\left\{ \begin{array}{ll} 0 & a_n \ \text{が偶数のとき} \\ 1 & a_n \ \text{が奇数のとき} \end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] によって定める.また,自然数$k$に対して,条件 \[ p_k \ \text{:すべての自然数} \ n \ \text{について} \ b_{n+k}=b_n \ \text{が成り立つ} \] を考える.以下の問いに答えよ.
(3) 条件$p_k$を満たす最小の自然数$k$を求めよ.
(4) $p,\ q,\ r$を整数とし,数列$\{a_n\}$の$a_1,\ a_2,\ a_3$を$a_1=p,\ a_2=q,\ a_3=r$に置き換え,数列$\{b_n\}$もそれにあわせて置き換える.$p,\ q,\ r$をどのように選んでも,条件$p_k$を満たす自然数$k$が存在することを示せ.
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