お茶の水女子大学
2013年 数学科・物理学科(共通問題) 第8問
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![硬貨投げをしたとき,表,裏がそれぞれ1/2の確率で出る硬貨がある.この硬貨を用いて硬貨投げをn回繰り返す.k=1,2,・・・,nに対し,k回目の硬貨投げの結果に応じてa_kを次で定める:a_k={\begin{array}{rl}1&k 回目の硬貨投げの結果が表のとき \-1&k 回目の硬貨投げの結果が裏のとき \end{array}.また,このa_k(k=1,2,・・・,n)を用いてn次式f(x)をf(x)=Σ_{k=1}^na_kx^kで定める.(1)nが偶数のとき,f(x)がx-1で割り切れる確率をnを用いて表せ.(2)nが4の倍数のとき,f(x)が(x-1)(x+1)で割り切れる確率をnを用いて表せ.(3)nが2以上の自然数のとき,f(2)=2となる確率をnを用いて表せ.](./thumb/177/2315/2013_8.png)
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硬貨投げをしたとき,表,裏がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で出る硬貨がある.この硬貨を用いて硬貨投げを$n$回繰り返す.$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対し,$k$回目の硬貨投げの結果に応じて$a_k$を次で定める:
\[ a_k=\left\{ \begin{array}{rl}
1 & k \text{回目の硬貨投げの結果が表のとき} \\
-1 & k \text{回目の硬貨投げの結果が裏のとき}
\end{array} \right. \]
また,この$a_k \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$を用いて$n$次式$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^n a_kx^k$で定める.
(1) $n$が偶数のとき,$f(x)$が$x-1$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ.
(2) $n$が$4$の倍数のとき,$f(x)$が$(x-1)(x+1)$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ.
(3) $n$が$2$以上の自然数のとき,$f(2)=2$となる確率を$n$を用いて表せ.
(1) $n$が偶数のとき,$f(x)$が$x-1$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ.
(2) $n$が$4$の倍数のとき,$f(x)$が$(x-1)(x+1)$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ.
(3) $n$が$2$以上の自然数のとき,$f(2)=2$となる確率を$n$を用いて表せ.
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