東京理科大学
2012年 理工(物理・応用生物科・経営工) 第1問
1
1
次の文章中の$\fbox{ア}$から$\fbox{ラ}$までに当てはまる数字$0$~$9$を求めて記入せよ.ただし,分数は既約分数として表しなさい.
(1) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の関係式を満たすとする. \[ a_1=0, \quad \left\{ \begin{array}{l} b_n=\displaystyle\frac{1}{5}a_n+1 \\ a_{n+1}=3b_n+2 \end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] このとき,$b_1 = \fbox{ア}$で,$n \geq 1$に対して$b_{n+1} = \displaystyle\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}} b_n + \frac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}}$となる.これより, \[ b_n = \displaystyle\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}} - \frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}} \left(\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \right)^{n-1} \quad (n \geq 1) \] となるので, \[ \lim_{n \to \infty} b_n = \frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}}, \qquad \lim_{n \to \infty} \frac{b_{2n}-b_n}{b_{n+1}-b_n} = \frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}} \] となる。また, \[ \sum_{n=1}^{\infty} (a_{2n}-a_n) = \frac{\fbox{タ}\fbox{チ}\fbox{ツ}}{\fbox{テ}\fbox{ト}} \] である.
(2) 複素数$z = \cos\theta + i\sin\theta \ \ (0 \leq \theta<2\pi)$に対して,複素数$\omega$を \[ \omega = (4+3i)z + 6i\,\overline{z} \] で定める.ただし,$i$は虚数単位を,$\overline{z}=\cos\theta-i\sin\theta$は$z$と共役な複素数を表す. いま$z$の実部と虚部がともに$0$以上となる範囲で$\theta$を動かす.このとき,$\omega$の実部の最大値は\fbox{ナ},最小値は\fbox{ニ}であり,$\omega \overline{\omega}$の最大値は\fbox{ヌ}\fbox{ネ}\fbox{ノ},最小値は\fbox{ハ}\fbox{ヒ}である.ただし,$\overline{\omega}$は$\omega$と共役な複素数を表す.
(3) $x>0$で定義された微分可能な関数$f(x)$が, \[ f^\prime(x) = 2\log x + \frac{1}{7-2e} \int_1^{e} \frac{f(t)}{t}\, dt, \quad f(1)=0 \] を満たすとする.ここで,$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数,$\log$は自然対数,$e$は自然対数の底である.$f(x)$を求めると, \[ f(x) = \fbox{フ} x\log x - \frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}} x + \frac{\fbox{マ}}{\fbox{ミ}} \quad (x>0) \] となる.関数$f(x)$は$\displaystyle x=e^{-\frac{\fbox{ム}}{\fbox{メ}}}$のとき,最小値 \[ -\fbox{モ}e^{-\frac{\fbox{ヤ}}{\fbox{ユ}}} + \frac{\fbox{ヨ}}{\fbox{ラ}}\] をとる。
(1) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の関係式を満たすとする. \[ a_1=0, \quad \left\{ \begin{array}{l} b_n=\displaystyle\frac{1}{5}a_n+1 \\ a_{n+1}=3b_n+2 \end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] このとき,$b_1 = \fbox{ア}$で,$n \geq 1$に対して$b_{n+1} = \displaystyle\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}} b_n + \frac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}}$となる.これより, \[ b_n = \displaystyle\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}} - \frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}} \left(\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \right)^{n-1} \quad (n \geq 1) \] となるので, \[ \lim_{n \to \infty} b_n = \frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}}, \qquad \lim_{n \to \infty} \frac{b_{2n}-b_n}{b_{n+1}-b_n} = \frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}} \] となる。また, \[ \sum_{n=1}^{\infty} (a_{2n}-a_n) = \frac{\fbox{タ}\fbox{チ}\fbox{ツ}}{\fbox{テ}\fbox{ト}} \] である.
(2) 複素数$z = \cos\theta + i\sin\theta \ \ (0 \leq \theta<2\pi)$に対して,複素数$\omega$を \[ \omega = (4+3i)z + 6i\,\overline{z} \] で定める.ただし,$i$は虚数単位を,$\overline{z}=\cos\theta-i\sin\theta$は$z$と共役な複素数を表す. いま$z$の実部と虚部がともに$0$以上となる範囲で$\theta$を動かす.このとき,$\omega$の実部の最大値は\fbox{ナ},最小値は\fbox{ニ}であり,$\omega \overline{\omega}$の最大値は\fbox{ヌ}\fbox{ネ}\fbox{ノ},最小値は\fbox{ハ}\fbox{ヒ}である.ただし,$\overline{\omega}$は$\omega$と共役な複素数を表す.
(3) $x>0$で定義された微分可能な関数$f(x)$が, \[ f^\prime(x) = 2\log x + \frac{1}{7-2e} \int_1^{e} \frac{f(t)}{t}\, dt, \quad f(1)=0 \] を満たすとする.ここで,$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数,$\log$は自然対数,$e$は自然対数の底である.$f(x)$を求めると, \[ f(x) = \fbox{フ} x\log x - \frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}} x + \frac{\fbox{マ}}{\fbox{ミ}} \quad (x>0) \] となる.関数$f(x)$は$\displaystyle x=e^{-\frac{\fbox{ム}}{\fbox{メ}}}$のとき,最小値 \[ -\fbox{モ}e^{-\frac{\fbox{ヤ}}{\fbox{ユ}}} + \frac{\fbox{ヨ}}{\fbox{ラ}}\] をとる。
類題(関連度順)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。