東京大学
2015年 理系 第2問
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![どの目も出る確率が1/6のさいころを1つ用意し,次のように左から順に文字を書く.さいころを投げ,出た目が1,2,3のときは文字列AAを書き,4のときは文字Bを,5のときは文字Cを,6のときは文字Dを書く.さらに繰り返しさいころを投げ,同じ規則に従って,AA,B,C,Dをすでにある文字列の右側につなげて書いていく.たとえば,さいころを5回投げ,その出た目が順に2,5,6,3,4であったとすると,得られる文字列は,AACDAABとなる.このとき,左から4番目の文字はD,5番目の文字はAである.(1)nを正の整数とする.n回さいころを投げ,文字列を作るとき,文字列の左からn番目の文字がAとなる確率を求めよ.(2)nを2以上の整数とする.n回さいころを投げ,文字列を作るとき,文字列の左からn-1番目の文字がAで,かつn番目の文字がBとなる確率を求めよ.](./thumb/179/910/2015_2.png)
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どの目も出る確率が$\displaystyle \frac{1}{6}$のさいころを$1$つ用意し,次のように左から順に文字を書く.
さいころを投げ,出た目が$1,\ 2,\ 3$のときは文字列$\mathrm{AA}$を書き,$4$のときは文字$\mathrm{B}$を,$5$のときは文字$\mathrm{C}$を,$6$のときは文字$\mathrm{D}$を書く.さらに繰り返しさいころを投げ,同じ規則に従って,$\mathrm{AA}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$をすでにある文字列の右側につなげて書いていく.
たとえば,さいころを$5$回投げ,その出た目が順に$2,\ 5,\ 6,\ 3,\ 4$であったとすると,得られる文字列は, \[ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{C} \ \mathrm{D} \ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \] となる.このとき,左から$4$番目の文字は$\mathrm{D}$,$5$番目の文字は$\mathrm{A}$である.
(1) $n$を正の整数とする.$n$回さいころを投げ,文字列を作るとき,文字列の左から$n$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率を求めよ.
(2) $n$を$2$以上の整数とする.$n$回さいころを投げ,文字列を作るとき,文字列の左から$n-1$番目の文字が$\mathrm{A}$で,かつ$n$番目の文字が$\mathrm{B}$となる確率を求めよ.
さいころを投げ,出た目が$1,\ 2,\ 3$のときは文字列$\mathrm{AA}$を書き,$4$のときは文字$\mathrm{B}$を,$5$のときは文字$\mathrm{C}$を,$6$のときは文字$\mathrm{D}$を書く.さらに繰り返しさいころを投げ,同じ規則に従って,$\mathrm{AA}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$をすでにある文字列の右側につなげて書いていく.
たとえば,さいころを$5$回投げ,その出た目が順に$2,\ 5,\ 6,\ 3,\ 4$であったとすると,得られる文字列は, \[ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{C} \ \mathrm{D} \ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \] となる.このとき,左から$4$番目の文字は$\mathrm{D}$,$5$番目の文字は$\mathrm{A}$である.
(1) $n$を正の整数とする.$n$回さいころを投げ,文字列を作るとき,文字列の左から$n$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率を求めよ.
(2) $n$を$2$以上の整数とする.$n$回さいころを投げ,文字列を作るとき,文字列の左から$n-1$番目の文字が$\mathrm{A}$で,かつ$n$番目の文字が$\mathrm{B}$となる確率を求めよ.
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コメント(1件)
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