次の空欄に当てはまる数字を書け．
(1) $\mathrm{A}$の袋には赤玉$1$個と黒玉$15$個，$\mathrm{B}$の袋には黒玉$16$個が入っている．それぞれの袋から$1$個ずつ玉を取り出して交換する，という試行を$n$回繰り返したとき，赤玉が$\mathrm{A}$の袋に入っている確率を$p_n$とする．ただし，$n$は自然数である．例えば， \[ p_1 = \frac{\fbox{$1$}\fbox{$2$}}{\fbox{$3$}\fbox{$4$}},\ p_2 = \frac{\fbox{$5$}\fbox{$6$}\fbox{$7$}}{\fbox{$8$}\fbox{$9$}\fbox{$10$}} \] である．$p_{n+1}$を$p_n$で表すと，$p_{n+1}=\displaystyle\frac{\fbox{$11$}}{\fbox{$12$}}p_n+\displaystyle\frac{\fbox{$13$}}{\fbox{$14$}\fbox{$15$}}$となるので，これより \[ p_n = \frac{\fbox{$16$}}{\fbox{$17$}}\left\{1+\left(\frac{\fbox{$18$}}{\fbox{$19$}}\right)^n\right\} \] と求まる．
(2) 赤玉$7$個，白玉$10$個，青玉$n$個が入った袋から，同時に$4$個の玉を取り出すとき，それらが赤玉$1$個，白玉$2$個，青玉$1$個である確率を$q_n$とする．ただし，$n$は自然数である．$\displaystyle\frac{q_{n+1}}{q_n}$を$n$の式で表すと， \[ \frac{q_{n+1}}{q_n} = \frac{n^2+\fbox{$20$}\fbox{$21$}n+\fbox{$22$}\fbox{$23$}}{n^2+\fbox{$24$}\fbox{$25$}n} \] となる．これより$n \leq \fbox{$26$}$の範囲で$q_n < q_{n+1}$が成り立ち，また，$n \geq \fbox{$27$}$の範囲で$q_n > q_{n+1}$が成り立つことがわかる．従って，$q_n$は$n= \fbox{$28$}$で最大値$\displaystyle\frac{\fbox{$29$}\fbox{$30$}}{\fbox{$31$}\fbox{$32$}\fbox{$33$}}$をとる．