慶應義塾大学
2016年 環境情報学部 第6問
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![ある人が破産したとき，すなわち，借りているお金の一部分しか返すことができなくなったとき，その人の財産（現在残っているものをお金にしたもの）の総額Aをn人の債権者（お金を貸した人）にどう分配するかについて考える．債権者には債権額（貸したお金の額）の少ない順に番号が振られており，第i番目の債権者の債権額をB_iとすると，B_i＜B_{i+1}(i=1,・・・,n-1)が成り立っている．また，B=Σ_{i=1}^nB_iとしたとき，A＜Bである．以下ではA=Bのときを含めて，第i番目の債権者の分配額X_iを，B_iの状況に応じて，次のルールに従って決める．\setlength{skip}{16mm}\mon[ケース1：]A≦n/2B_1のときは，X_i=1/nA(i=1,・・・,n)とする．\mon[ケース2：]1≦k≦n-1に対して1/2B-1/2Σ_{j=k}^n(B_j-B_k)≦A≦1/2B-1/2Σ_{j=k+1}^n(B_j-B_{k+1})のときはX_i={\begin{array}{ll}1/2B_i&(i=1,・・・,k)\1/2B_k+\frac{1}{n-k}{A-1/2B+1/2Σ_{j=k}^n(B_j-B_k)}&(i=k+1,・・・,n)\end{array}.とする．\mon[ケース3：]1≦k≦n-1に対して1/2B+1/2Σ_{j=k+1}^n(B_j-B_{k+1})≦A≦1/2B+1/2Σ_{j=k}^n(B_j-B_{k})のときはX_i={\begin{array}{ll}1/2B_i&(i=1,・・・,k)\B_i-1/2B_k-\frac{1}{n-k}{1/2B+1/2Σ_{j=k}^n(B_j-B_k)-A}&(i=k+1,・・・,n)\end{array}.とする．\mon[ケース4：]B-n/2B_1≦Aのときは，X_i=B_i-1/n(B-A)(i=1,・・・,n)とする．(1)n=2,B_1=60,B_2=180としたとき，Aが[85][86][87]≦A≦[88][89][90]の範囲ならば，X_1=30となる．また，X_2がX_1の4倍となるのは，Aの値が2通りあり，小さい順に[91][92][93]と[94][95][96]の場合である．(2)n=3,B_1=60,B_2=90,B_3=180としたとき，A=100ならば，X_2=[97][98][99]，X_3=[100][101][102]であり，A=220ならば，X_2=[103][104][105]，X_3=[106][107][108]である．](./thumb/202/95/2016_6.png)
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ある人が破産したとき，すなわち，借りているお金の一部分しか返すことができなくなったとき，その人の財産（現在残っているものをお金にしたもの）の総額$A$を$n$人の債権者（お金を貸した人）にどう分配するかについて考える．債権者には債権額（貸したお金の額）の少ない順に番号が振られており，第$i$番目の債権者の債権額を$B_i$とすると，$B_i<B_{i+1} \ \ (i=1,\ \cdots,\ n-1)$が成り立っている．また，$\displaystyle B=\sum_{i=1}^n B_i$としたとき，$A<B$である．以下では$A=B$のときを含めて，第$i$番目の債権者の分配額$X_i$を，$B_i$の状況に応じて，次のルールに従って決める．
\setlength{\leftskip}{16mm} [ケース$1$：] $\displaystyle A \leqq \frac{n}{2}B_1$のときは，$\displaystyle X_i=\frac{1}{n}A \ \ (i=1,\ \cdots,\ n)$とする． [ケース$2$：] $1 \leqq k \leqq n-1$に対して \[ \frac{1}{2}B-\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k) \leqq A \leqq \frac{1}{2}B-\frac{1}{2} \sum_{j=k+1}^n (B_j-B_{k+1}) \] のときは \[ X_i=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{1}{2}B_i & (i=1,\ \cdots,\ k) \\ \displaystyle\frac{1}{2}B_k+\frac{1}{n-k} \left\{ A-\frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k) \right\} & (i=k+1,\ \cdots,\ n) \end{array} \right. \] とする． [ケース$3$：] $1 \leqq k \leqq n-1$に対して \[ \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k+1}^n (B_j-B_{k+1}) \leqq A \leqq \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_{k}) \] のときは \[ X_i=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{1}{2}B_i & (i=1,\ \cdots,\ k) \\ B_i-\displaystyle\frac{1}{2}B_k-\frac{1}{n-k} \left\{ \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k)-A \right\} & (i=k+1,\ \cdots,\ n) \end{array} \right. \] とする． [ケース$4$：] $\displaystyle B-\frac{n}{2}B_1 \leqq A$のときは，$\displaystyle X_i=B_i-\frac{1}{n}(B-A) \ \ (i=1,\ \cdots,\ n)$とする．
(1) $n=2,\ B_1=60,\ B_2=180$としたとき，$A$が \[ \fbox{$85$}\fbox{$86$}\fbox{$87$} \leqq A \leqq \fbox{$88$}\fbox{$89$}\fbox{$90$} \] の範囲ならば，$X_1=30$となる．また，$X_2$が$X_1$の$4$倍となるのは，$A$の値が$2$通りあり，小さい順に$\fbox{$91$}\fbox{$92$}\fbox{$93$}$と$\fbox{$94$}\fbox{$95$}\fbox{$96$}$の場合である．
(2) $n=3,\ B_1=60,\ B_2=90,\ B_3=180$としたとき，$A=100$ならば，$X_2=\fbox{$97$}\fbox{$98$}\fbox{$99$}$，$X_3=\fbox{$100$}\fbox{$101$}\fbox{$102$}$であり，$A=220$ならば，$X_2=\fbox{$103$}\fbox{$104$}\fbox{$105$}$，$X_3=\fbox{$106$}\fbox{$107$}\fbox{$108$}$である．
\setlength{\leftskip}{16mm} [ケース$1$：] $\displaystyle A \leqq \frac{n}{2}B_1$のときは，$\displaystyle X_i=\frac{1}{n}A \ \ (i=1,\ \cdots,\ n)$とする． [ケース$2$：] $1 \leqq k \leqq n-1$に対して \[ \frac{1}{2}B-\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k) \leqq A \leqq \frac{1}{2}B-\frac{1}{2} \sum_{j=k+1}^n (B_j-B_{k+1}) \] のときは \[ X_i=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{1}{2}B_i & (i=1,\ \cdots,\ k) \\ \displaystyle\frac{1}{2}B_k+\frac{1}{n-k} \left\{ A-\frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k) \right\} & (i=k+1,\ \cdots,\ n) \end{array} \right. \] とする． [ケース$3$：] $1 \leqq k \leqq n-1$に対して \[ \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k+1}^n (B_j-B_{k+1}) \leqq A \leqq \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_{k}) \] のときは \[ X_i=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{1}{2}B_i & (i=1,\ \cdots,\ k) \\ B_i-\displaystyle\frac{1}{2}B_k-\frac{1}{n-k} \left\{ \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k)-A \right\} & (i=k+1,\ \cdots,\ n) \end{array} \right. \] とする． [ケース$4$：] $\displaystyle B-\frac{n}{2}B_1 \leqq A$のときは，$\displaystyle X_i=B_i-\frac{1}{n}(B-A) \ \ (i=1,\ \cdots,\ n)$とする．
(1) $n=2,\ B_1=60,\ B_2=180$としたとき，$A$が \[ \fbox{$85$}\fbox{$86$}\fbox{$87$} \leqq A \leqq \fbox{$88$}\fbox{$89$}\fbox{$90$} \] の範囲ならば，$X_1=30$となる．また，$X_2$が$X_1$の$4$倍となるのは，$A$の値が$2$通りあり，小さい順に$\fbox{$91$}\fbox{$92$}\fbox{$93$}$と$\fbox{$94$}\fbox{$95$}\fbox{$96$}$の場合である．
(2) $n=3,\ B_1=60,\ B_2=90,\ B_3=180$としたとき，$A=100$ならば，$X_2=\fbox{$97$}\fbox{$98$}\fbox{$99$}$，$X_3=\fbox{$100$}\fbox{$101$}\fbox{$102$}$であり，$A=220$ならば，$X_2=\fbox{$103$}\fbox{$104$}\fbox{$105$}$，$X_3=\fbox{$106$}\fbox{$107$}\fbox{$108$}$である．
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