$xy$平面上を動く中心$(0,\ p)$，半径$r \ \ (0<r<p)$の円$C_1$が，放物線$C_2:y=x^2$と異なる$2$点で，直線$\ell:y=q \ \ (q>p)$と$1$点で接している（直線$\ell$は円$C_1$と連動して動くものとする）．ここで$2$つの曲線が接するとは，交点における接線が一致することを意味する．このとき \[ p=\fbox{$36$}r^2+\frac{\fbox{$37$}}{\fbox{$38$}} \] であり，$\displaystyle r>\frac{\fbox{$39$}}{\fbox{$40$}}$を満たす．また，放物線$C_2$と直線$\ell$の交点の$x$座標は \[ \pm \left( \fbox{$41$}r+\frac{\fbox{$42$}}{\fbox{$43$}} \right) \] である．このとき，放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた領域の面積は \[ \frac{\fbox{$44$}}{\fbox{$45$}}r^3+\fbox{$46$}r^2+\fbox{$47$}r+\frac{\fbox{$48$}}{\fbox{$49$}} \] である．