次の問いに答えよ．
(1) $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$つの箱があり，$\mathrm{A}$の箱には$7$個の黒ボールと$3$個の白ボールが入っている．$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の箱にも黒ボールと白ボールが入っていて，どの箱においても$1$個を無作為に取り出したときに黒ボールである確率は$\alpha$である（$0<\alpha<1$）．また，少なくとも$3$個以上のボールがそれぞれの箱には入っている．このとき，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し$\mathrm{A}$の箱に加えた後，$\mathrm{A}$の箱から$1$個のボールを無作為に取り出したときにそれが黒ボールである確率は \[ \frac{\fbox{$1$}\fbox{$2$}}{\fbox{$3$}\fbox{$4$}}+\frac{\fbox{$5$}\fbox{$6$}}{\fbox{$7$}\fbox{$8$}} \alpha \] である．
(2) $\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$の$4$つの箱があり，$\mathrm{E}$の箱には$7$個の黒ボールと$3$個の白ボールが入っている．$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$の箱にも黒ボールと白ボールが入っていて，どの箱においても$1$個を無作為に取り出したときに黒ボールである確率は$\alpha$である（$0<\alpha<1$）．また，少なくとも$3$個以上のボールがそれぞれの箱には入っている．このとき，まず，$\mathrm{E}$と$\mathrm{F}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し交換してもとの箱に戻し，次に，$\mathrm{E}$と$\mathrm{G}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し交換してもとの箱に戻し，次に，$\mathrm{E}$と$\mathrm{H}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し交換してもとの箱に戻した後，$\mathrm{E}$の箱から$1$個のボールを無作為に取り出したときにそれが黒ボールである確率は \[ \frac{\kakkofour{$9$}{$10$}{$11$}{$12$}}{10000}+\frac{\fbox{$13$}\fbox{$14$}\fbox{$15$}}{1000} \alpha \] である．