慶應義塾大学
2016年 医学部 第3問
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![以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．l≧1を定数とし，座標空間の点Aは平面z=-1上を，点Bは平面z=1上を，OA=OB=lをみたしつつ動くとする．ただしOは座標空間の原点である．(1)∠AOB=π/3となるように点A，Bを選ぶことができるためにはl≧[あ]であることが必要十分である．また，点A，Bからxy平面へ垂線を下ろし，それぞれとxy平面との交点をA´,B´とするとき，∠AOB=π/3かつcos∠A´OB´=2/3となるように点A，Bを選ぶことができるのはl=[い]のときである．(2)l=[い]のとき，点A，B，Cの座標をA(0,[う],-1),B([え],[お],1),C([か],[き],[く])とするとOABCは正四面体をなす．ただし[う],[え],[く]はいずれも正とする．また，正四面体OABCを平面y+3z=tで切ったときの切り口は[け]＜t＜[こ]のとき四角形となる．その四角形は上底と下底の和が[さ]，高さが[し]の台形であり，その面積はt=[す]のとき最大値[せ]をとる．](./thumb/202/88/2016_3.png)
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以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．
$l \geqq 1$を定数とし，座標空間の点$\mathrm{A}$は平面$z=-1$上を，点$\mathrm{B}$は平面$z=1$上を，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=l$をみたしつつ動くとする．ただし$\mathrm{O}$は座標空間の原点である．
(1) $\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$となるように点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を選ぶことができるためには$l \geqq \fbox{あ}$であることが必要十分である．また，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$から$xy$平面へ垂線を下ろし，それぞれと$xy$平面との交点を$\mathrm{A}^\prime,\ \mathrm{B}^\prime$とするとき，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$かつ$\displaystyle \cos \angle \mathrm{A}^\prime \mathrm{OB}^\prime=\frac{2}{3}$となるように点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を選ぶことができるのは$l=\fbox{い}$のときである．
(2) $l=\fbox{い}$のとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標を \[ \mathrm{A}(0,\fbox{う},-1),\quad \mathrm{B}(\fbox{え},\fbox{お},1),\quad \mathrm{C}(\fbox{か},\fbox{き},\fbox{く}) \] とすると$\mathrm{OABC}$は正四面体をなす．ただし$\fbox{う},\ \fbox{え},\ \fbox{く}$はいずれも正とする．
また，正四面体$\mathrm{OABC}$を平面$y+3z=t$で切ったときの切り口は$\fbox{け}<t<\fbox{こ}$のとき四角形となる．その四角形は上底と下底の和が$\fbox{さ}$，高さが$\fbox{し}$の台形であり，その面積は$t=\fbox{す}$のとき最大値$\fbox{せ}$をとる．
$l \geqq 1$を定数とし，座標空間の点$\mathrm{A}$は平面$z=-1$上を，点$\mathrm{B}$は平面$z=1$上を，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=l$をみたしつつ動くとする．ただし$\mathrm{O}$は座標空間の原点である．
(1) $\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$となるように点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を選ぶことができるためには$l \geqq \fbox{あ}$であることが必要十分である．また，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$から$xy$平面へ垂線を下ろし，それぞれと$xy$平面との交点を$\mathrm{A}^\prime,\ \mathrm{B}^\prime$とするとき，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$かつ$\displaystyle \cos \angle \mathrm{A}^\prime \mathrm{OB}^\prime=\frac{2}{3}$となるように点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を選ぶことができるのは$l=\fbox{い}$のときである．
(2) $l=\fbox{い}$のとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標を \[ \mathrm{A}(0,\fbox{う},-1),\quad \mathrm{B}(\fbox{え},\fbox{お},1),\quad \mathrm{C}(\fbox{か},\fbox{き},\fbox{く}) \] とすると$\mathrm{OABC}$は正四面体をなす．ただし$\fbox{う},\ \fbox{え},\ \fbox{く}$はいずれも正とする．
また，正四面体$\mathrm{OABC}$を平面$y+3z=t$で切ったときの切り口は$\fbox{け}<t<\fbox{こ}$のとき四角形となる．その四角形は上底と下底の和が$\fbox{さ}$，高さが$\fbox{し}$の台形であり，その面積は$t=\fbox{す}$のとき最大値$\fbox{せ}$をとる．
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