慶應義塾大学
2016年 経済学部 第2問
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![以下の条件で定められる数列{a_n}がある．a_1=1/10,a_{n+1}=\frac{1}{100}a_n+1/10(n=1,2,3,・・・)(1){a_n}の階差数列{b_n}をb_n=a_{n+1}-a_n(n=1,2,3,・・・)で定める．{b_n}は等比数列で，初項を\frac{1}{{10}^p}，公比を\frac{1}{{10}^q}とおくと，p=[13]，q=[14]となる．ゆえに，{b_n}の第n項をb_n=\frac{1}{{10}^{rn+s}}(n=1,2,3,・・・)とおくと，r=[15]，s=[16]となる．さらに，{a_n}の第n項は，a_n=a_1+Σ_{k=[17]}^{n+[18][19]}b_k=\frac{\frac{1}{{10}^t}(1-\frac{1}{{10}^{un}})}{1-\frac{1}{{10}^v}}(n=2,3,4,・・・)と求められる．ここで，t=[20]，u=[21]，v=[22]である．(2)S_n=Σ_{k=1}^n\frac{1}{{10}^{2k}a_ka_{k+1}}(n=1,2,3,・・・)とおく．関係式\frac{b_k}{a_ka_{k+1}}=\frac{[23][24]}{a_k}+\frac{[25][26]}{a_{k+1}}(k=1,2,3,・・・)を用いて計算すると，S_n=\frac{{10}^w(1-\frac{1}{{10}^{xn}})}{1-\frac{1}{{10}^{yn+z}}}となる．ここで，w=[27]，x=[28]，y=[29]，z=[30]である．(3)({100}^{n+1}-1)S_nは[31]n+[32][33]桁の整数になる．](./thumb/202/94/2016_2.png)
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以下の条件で定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=\frac{1}{10},\quad a_{n+1}=\frac{1}{100}a_n+\frac{1}{10} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1) $\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{n+1}-a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．$\{b_n\}$は等比数列で，初項を$\displaystyle \frac{1}{{10}^p}$，公比を$\displaystyle \frac{1}{{10}^q}$とおくと，$p=\fbox{$13$}$，$q=\fbox{$14$}$となる．ゆえに，$\{b_n\}$の第$n$項を \[ b_n=\frac{1}{{10}^{rn+s}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] とおくと，$r=\fbox{$15$}$，$s=\fbox{$16$}$となる．さらに，$\{a_n\}$の第$n$項は， \[ a_n=a_1+\sum_{k=\fbox{$17$}}^{n+\fbox{$18$}\fbox{$19$}} b_k=\frac{\displaystyle\frac{1}{{10}^t} \left( 1-\frac{1}{{10}^{un}} \right)}{1-\displaystyle\frac{1}{{10}^v}} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \] と求められる．ここで，$t=\fbox{$20$}$，$u=\fbox{$21$}$，$v=\fbox{$22$}$である．
(2) $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{{10}^{2k} a_k a_{k+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．関係式 \[ \frac{b_k}{a_k a_{k+1}}=\frac{\fbox{$23$}\fbox{$24$}}{a_k}+\frac{\fbox{$25$}\fbox{$26$}}{a_{k+1}} \quad (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] を用いて計算すると， \[ S_n=\frac{{10}^w \left( 1-\displaystyle\frac{1}{{10}^{xn}} \right)}{1-\displaystyle\frac{1}{{10}^{yn+z}}} \] となる．ここで，$w=\fbox{$27$}$，$x=\fbox{$28$}$，$y=\fbox{$29$}$，$z=\fbox{$30$}$である．
(3) $({100}^{n+1}-1)S_n$は$\fbox{$31$}n+\fbox{$32$}\fbox{$33$}$桁の整数になる．
(1) $\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{n+1}-a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．$\{b_n\}$は等比数列で，初項を$\displaystyle \frac{1}{{10}^p}$，公比を$\displaystyle \frac{1}{{10}^q}$とおくと，$p=\fbox{$13$}$，$q=\fbox{$14$}$となる．ゆえに，$\{b_n\}$の第$n$項を \[ b_n=\frac{1}{{10}^{rn+s}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] とおくと，$r=\fbox{$15$}$，$s=\fbox{$16$}$となる．さらに，$\{a_n\}$の第$n$項は， \[ a_n=a_1+\sum_{k=\fbox{$17$}}^{n+\fbox{$18$}\fbox{$19$}} b_k=\frac{\displaystyle\frac{1}{{10}^t} \left( 1-\frac{1}{{10}^{un}} \right)}{1-\displaystyle\frac{1}{{10}^v}} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \] と求められる．ここで，$t=\fbox{$20$}$，$u=\fbox{$21$}$，$v=\fbox{$22$}$である．
(2) $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{{10}^{2k} a_k a_{k+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．関係式 \[ \frac{b_k}{a_k a_{k+1}}=\frac{\fbox{$23$}\fbox{$24$}}{a_k}+\frac{\fbox{$25$}\fbox{$26$}}{a_{k+1}} \quad (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] を用いて計算すると， \[ S_n=\frac{{10}^w \left( 1-\displaystyle\frac{1}{{10}^{xn}} \right)}{1-\displaystyle\frac{1}{{10}^{yn+z}}} \] となる．ここで，$w=\fbox{$27$}$，$x=\fbox{$28$}$，$y=\fbox{$29$}$，$z=\fbox{$30$}$である．
(3) $({100}^{n+1}-1)S_n$は$\fbox{$31$}n+\fbox{$32$}\fbox{$33$}$桁の整数になる．
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