$3$つの袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．袋$\mathrm{A}$には，$1$から$7$までの番号が書かれた玉がそれぞれ$2$個ずつ，計$14$個入っている．また，袋$\mathrm{B}$，袋$\mathrm{C}$には何も入っていない．以下，番号$i$が書かれた玉を「玉$i$」と呼ぶことにする．
袋$\mathrm{A}$から無作為に玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れる．ここで袋$\mathrm{B}$に入れられた玉を玉$i$とするとき，玉$i-1$，玉$i$，玉$i+1$のうち袋$\mathrm{A}$に入っているものをそれぞれ$1$個ずつ取り出して袋$\mathrm{C}$に入れる．この一連の操作を繰り返す．
例えば，$1$回目の操作の最初に玉$7$が袋$\mathrm{B}$に入れられたとする．このとき，袋$\mathrm{A}$には玉$6$と玉$7$は入っているが，玉$8$は入っていないので，玉$6$と玉$7$が$1$個ずつ袋$\mathrm{A}$から袋$\mathrm{C}$に移される．以上で$1$回目の操作が終わり，袋$\mathrm{A}$に玉$1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 6$の計$11$個が入った状態で$2$回目の操作を始める．

(1) $1$回目の操作で玉$4$が袋$\mathrm{B}$に入れられたとき，$2$回目の操作で玉$5$が袋$\mathrm{B}$に入れられる確率は$\displaystyle \frac{\fbox{$43$}}{\fbox{$44$}\fbox{$45$}}$である．
(2) $1$回目の操作で玉$2$が袋$\mathrm{B}$に入れられ，かつ$2$回目の操作で玉$1$が袋$\mathrm{B}$に入れられる確率は$\displaystyle \frac{\fbox{$46$}}{\fbox{$47$}\fbox{$48$}}$である．
$1 \leqq i<j \leqq 7$を満たす整数$i,\ j$に対し，$2$回の操作を行った後に袋$\mathrm{B}$に玉$i$と玉$j$が入っている事象を$B_{i,j}$とし，事象$B_{i,j}$の確率を$P(B_{i,j})$で表す．
(3) $\displaystyle P(B_{1,2})=\frac{1}{7} \times \frac{\fbox{$49$}}{11}+\frac{1}{7} \times \frac{\fbox{$50$}}{10}=\frac{\fbox{$51$}}{110}$である．同様に，
$\displaystyle P(B_{1,3})=\frac{\fbox{$52$}}{\fbox{$53$}\fbox{$54$}},\quad P(B_{1,7})=\frac{\fbox{$55$}}{\fbox{$56$}\fbox{$57$}},$
$\displaystyle P(B_{2,3})=\frac{\fbox{$58$}}{\fbox{$59$}\fbox{$60$}},\quad P(B_{2,4})=\frac{\fbox{$61$}}{\fbox{$62$}\fbox{$63$}}$
である．
(4) $\comb{7}{2}$個の事象$B_{1,2},\ B_{1,3},\ \cdots,\ B_{6,7}$のうち，起こる確率が$P(B_{1,2})$であるものは$\fbox{$64$}$個，$P(B_{1,3})$であるものは$\fbox{$65$}$個，$P(B_{1,7})$であるものは$\fbox{$66$}$個，$P(B_{2,3})$であるものは$\fbox{$67$}$個，$P(B_{2,4})$であるものは$\fbox{$68$}$個である．
(5) $3$回の操作の後，袋$\mathrm{B}$に入っている玉の番号が全て偶数となる確率は$\displaystyle \frac{\fbox{$69$}}{\fbox{$70$}\fbox{$71$}}$である．