$a,\ b,\ c$を実数とする．$x$の関数 \[ F(x)=x^3+ax^2+bx+c \] は$x=\alpha$で極大になり，$x=\beta$で極小になるとする．曲線$y=F(x)$上の点$\mathrm{B}(\beta,\ F(\beta))$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$y=F(x)$の共有点のうち$\mathrm{B}$と異なるものを$(\gamma,\ F(\gamma))$とする．
(1) $x$の整式$F(x)-F(\beta)$を，$\beta,\ \gamma$を用いて$1$次式の積に因数分解された形で表せ．
(2) $\gamma$を$\alpha,\ \beta$のみを含む式で表せ．必要ならば$x$の整式で表される関数$p(x)$，$q(x)$とそれらの導関数に関して成り立つ公式 \[ \{p(x)q(x)\}^\prime=p^\prime(x)q(x)+p(x)q^\prime(x) \] を用いてもよい．
(3) $f(x)=F^\prime(x)$とする．直線$x=\gamma$，$x$軸，および曲線$y=f(x)$で囲まれた図形のうち$y \geqq 0$となる部分の面積$S$を，$\alpha,\ \beta$のみを含む式で表せ．さらに，$\displaystyle a-b \geqq \frac{3}{2}$が成り立つとき，$S$の最小値を求めよ．